【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=10,E為AB上一點,且AE= AB=a,連結(jié)DE,F(xiàn)是DE中點,連結(jié)BF,以BF為直徑作⊙O.
(1)用a的代數(shù)式表示DE2= , BF2=;
(2)求證:⊙O必過BC的中點;
(3)若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時,求a的值;
(4)作A關(guān)于直線BF的對稱點A′,若A′落在矩形ABCD內(nèi)部(不包括邊界),則a的取值范圍 . (直接寫出答案)
【答案】
(1)a2+100,
(2)證明:如圖1,設(shè)⊙O交BC于H,連接FH,
∵BF是⊙O的直徑,
∴∠BHF=90°,
∴∠ABC=∠BHF=∠AGF=90°,
∴四邊形BGFH是矩形,
∴BH=GF= AD= BC,
∴H是BC的中點,
即:⊙O必過BC的中點
(3)解:分兩種情況:
①如圖2,當(dāng)⊙O與邊CD相切時,設(shè)切點為M,連接OM、FH交于N,則OM⊥CD,
∴OM=ON+MN= +5= ,
∵OM⊥FH,
∴NF= FH= × = a,
Rt△ONF中,ON2+NF2=OF2=OM2,
∴ +( )2= ,
a= ,
∵a>0,
∴a= ,
②如圖3,當(dāng)⊙O與邊AD相切時,設(shè)切點為Q,
連接OQ,則OQ⊥AD,連接FG,交OQ于P,
∴OQ=OP+PQ= BG+AG= + = a,
由(1)知: 且BF=2OQ,
∴25+ a2=(2× a)2,
a= ,
綜上所述,若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時,a的值為 或
(4) <a<
【解析】解:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
在Rt△AED中,AE=a,AD=10,
由勾股定理得:ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100,
設(shè)⊙O交AB于G,連接FG,
∵BF是⊙O的直徑,
∴∠BGF=90°,
∵∠A=90°,
∴∠BGF=∠A,
∴FG∥AD,
∵F是ED的中點,
∴GF= AD=5,EG=AG= a,
∵AE= AB=a,
∴AB=4a,
∴BG=4a﹣ a= a,
由勾股定理得:BF2=BG2+GF2,
∴BF2= +52= +25= ,
所以答案是:a2+100; ;
⑷如圖4,當(dāng)A的對稱點A′恰好在邊BD上時,連接AA′交BF于H,連接AF、A′F,過F作MN⊥BC,交BC于M,交AD于N,則MN⊥AD,
∵A關(guān)于直線BF的對稱點A′,
∴BF是AA′的垂直平分線,
∴AF=A′F,AB=A′B=4a,
由(1)(2)得:FN= a,F(xiàn)M= a,A′M=4a﹣5,AN=5,
由勾股定理得: =(4a﹣5)2+ ,
解得:a1=0(舍),a2= ,
∴當(dāng)a< 時,A′落在矩形ABCD外部(包括邊界),
如圖5,當(dāng)A′落在邊CD上時,連接AA′、A′B,過F作MG⊥AB,則MG⊥CD,
設(shè)射線BF交AD于N,
易得A′G=AM=DG= a,A′C=3a,
∵BF是AA′的垂直平分線,
∴AB=A′B,
則(4a)2=102+(3a)2,
a= ,
∴a的取值范圍是: <a< ,
所以答案是: <a< .
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線;線段垂直平分線的性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+mx+2m﹣7的圖象經(jīng)過點(1,0).
(1)求拋物線的表達式;
(2)把﹣4<x<1時的函數(shù)圖象記為H,求此時函數(shù)y的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,將圖象H在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象H的其余部分保持不變,得到一個新圖象M.若直線y=x+b與圖象M有三個公共點,求b的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【發(fā)現(xiàn)證明】
如圖1,點E,F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠EAF=45°,試判斷BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.
小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,通過證明△AEF≌△AGF;從而發(fā)現(xiàn)并證明了EF=BE+FD.
(1)【類比引申】如圖2,點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上,∠EAF=45°,連接EF,請根據(jù)小聰?shù)陌l(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)【聯(lián)想拓展】如圖4,如圖,∠BAC=90°,AB=AC,點E、F在邊BC上,且∠EAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的長.
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【題目】如圖,在與中,,,,,交于點.下列結(jié)論正確的個數(shù)為()個
①;②;③;④;⑤.
A.1B.2C.3D.4
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【題目】下面是小蕓設(shè)計的“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程.
已知:△ABC.
求作:△ABC的邊BC上的高AD.
作法:①以點A為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,
交直線BC于點M,N;
②分別以點M,N為圓心,以大于MN的長為半徑畫弧,兩弧相交于點P;
③作直線AP交BC于點D,則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高.
根據(jù)小蕓設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明:
證明:∵AM= ,MP= ,
∴AP是線段MN的垂直平分線.( )(填推理的依據(jù))
∴AD⊥BC于D,即線段AD為△ABC的邊BC上的高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 中, , , 是過 點的一條直線
(1)作 于點, 點,若點和點在直線的同側(cè),求證: ;
(2)若直線繞點旋轉(zhuǎn)到點和點在其兩側(cè),其余條件不變,問:的關(guān)系如何?請予以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一般情況下,不成立,但有些數(shù)可以使得它成立,例如:a=1,b=2.我們稱使得成立的一對數(shù)a,b為“相伴數(shù)對”,記為(a,b).
(1)判斷數(shù)對(﹣2,1),(3,3)是否是“相伴數(shù)對”;
(2)若(k,﹣1)是“相伴數(shù)對”,求k的值;
(3)若(4,m)是“相伴數(shù)對”,求代數(shù)式的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中,△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上.
(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A1B1C1;
(2)在直線l上找出一點P,使得|PA﹣PC|的值最大;(保留作圖痕跡并標(biāo)上字母P)
(3)在直線l上找出一點Q,使得QA+QC1的值最小;(保留作圖痕跡并標(biāo)上字母Q)
(4)在正方形網(wǎng)格中存在 個格點,使得該格點與B、C兩點構(gòu)成以BC為底邊的等腰三角形.
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