Question

已知：如圖，在⊙O中，AB是弦，PF切⊙O于點B，直線PE過A點，若PB=PA．
（1）求證：PE是⊙O的切線；
（2）在滿足（1）的情況下，當∠APB=120°，B、C分別是⊙O的三等分點，連接BC，且PB=2

3

時，求BC弦的長．

Answer 1

分析：（1）先連接OA、OB、OP，已知AB是弦，PF切⊙O于點B，從而得出∠OBP=90°，再根據(jù)SSS定理證明△APO≌△BPO，從而證明∠OAP=∠OBP=90°．所以OA⊥PA，且OA為⊙O半徑，根據(jù)切線的性質(zhì)從而證得答案；
（2）先連接OC，由

BC

等于⊙O圓周的三分之一，得出∠COB=120°，再由（1）得到∠AOB=60°，由切線長定理可得∠OPB=60°，在Rt△OPB中，由已知條件可求出OB=6，從而證得A、O、C在同一直線上，AC為⊙O直徑，且AC=2OB=12．所以∠ABC=90°， ∠C=

1

2

∠AOB=30°．再在Rt△ABC中，利用BC=AC•cos∠C即可得到答案．

解答：（1）證明：連接OA、OB、OP．
∵⊙O中，AB是弦，PF切⊙O于點B，
∴∠OBP=90°．
在△APO和△BPO中

OA=OB OP=OP AP=BP

∴△APO≌△BPO．
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴OA⊥PA，且OA為⊙O半徑，
∴PE是⊙O的切線．

（2）解：連接OC．
∵

BC

等于⊙O圓周的三分之一，
∴∠COB=120°．
由（1）可知∠OAP=∠OBP=90°，∠APB=120°
∴四邊形APBO中，∠AOB=60°，
由切線長定理可得∠OPB=

1

2

∠APB=60°，
在Rt△OPB中，由PB=2

3

，得OB=PB• tan∠OPB=2

3

×

3

=6．
∵∠COB+∠AOB=120°+60°=180°，
∴A、O、C在一條直線上．
∴AC為⊙O直徑，且AC=2OB=12．
∴∠ABC=90°， ∠C=

1

2

∠AOB=30°．
在Rt△ABC中，BC=AC• cos∠C=12×

3

2

=6

3

．
若有其它方法酌情給分．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線長定理以及解直角三角形的知識，綜合性比較強．