Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直平分DF，理由詳見解析.

【解析】

（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點(diǎn)得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代換得到∠GDF＝∠BFE，利用等角對等邊得到GF＝GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，

∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，

在△ADE和△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直平分DF，

理由為：連接EG，

∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，

∴∠GDF＝∠BFE，

由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE為DF上的中線，

∴GE垂直平分DF．