Question

如圖，先把一矩形ABCD紙片對(duì)折，設(shè)折痕為MN，再把B點(diǎn)疊在折痕線(xiàn)上，得到△ABE，過(guò)B點(diǎn)折紙片使D點(diǎn)疊在直線(xiàn)AD上，得折痕PQ．
（1）求證：△PBE∽△QAB；
（2）你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如果沿直線(xiàn)EB折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線(xiàn)EC上？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)證明∠ABQ=∠PEB，∠BPE=∠AQB=90°，得出△PBE∽△QAB；
（2）證明，即，∠ABE=∠BPE=90°，得出△PBE∽△BAE；
（3）由∠AEB=∠CEB可知A能疊在直線(xiàn)EC上．
解答：（1）證明：據(jù)題意得：PQ⊥AD，
∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°，∠PBE+∠PEB=90°，
∴∠ABQ=∠PEB．
又∵∠BPE=∠AQB=90°，
∴△PBE∽△QAB．

（2）解：△PBE和△BAE相似．
證明：∵△PBE∽△QAB，
∴．
∵由折疊可知BQ=PB．
∴，
即．
又∵∠ABE=∠BPE=90°，
∴△PBE∽△BAE．

（3）解：點(diǎn)A能疊在直線(xiàn)EC上．
由（2）得，△PBE∽△BAE
∴∠AEB=∠CEB，
∴沿直線(xiàn)EB折疊紙片，點(diǎn)A能疊在直線(xiàn)EC上．
點(diǎn)評(píng)：掌握?qǐng)D形的變化中翻折變換（折疊問(wèn)題）的特點(diǎn)，考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)．