Question

（2012•南關區(qū)模擬）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AD=8cm，DC=8cm，AB=12cm．點P從點A出發(fā)，沿線段AD勻速運動，與此同時，點Q從點B出發(fā)，沿線段BA勻速運動，P、Q兩點運動的速度均為1cm/s，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動，過點Q作QM⊥AB交折線BC-CD于點M．以線段MQ為直角邊在MQ的左側作等腰直角△MQN，以線段AP為一邊在AP的右側作正方形APEF，設運動時間為t（s），△MQN與正方形APEF重疊部分的面積為S（cm）．

（1）求兩點N、F相遇時t的值；
（2）求S與t的函數關系式；
（3）當點M在線段CD上運動時，設MN分別交PE、PA于點G、H，請直接寫出在此時段△PGH掃過平面部分的面積．

Answer 1

分析：（1）作CG⊥AB于G，由條件可以得出四邊形AGCD是矩形，就可以求出CG、GB的值，求出∠B的正切值，由QB就可以求出QM，從而求出FQ的值，根據AN+NQ+QB=AB建立方程就可以求出t值；
（2）分四種情況討論：①0＜t≤3；②3＜t≤4；③4＜t≤6；④6＜t≤8，畫出每一種情況下的圖形，再根據面積公式即可求解；
（3）當點M在線段CD上運動時，畫出圖形可知，當4≤t≤8時△PGH掃過的平面部分為梯形ADRL，根據圖形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）作CG⊥AB于G，如圖1．
∴∠CGA=∠CGB=90°．
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∵AB∥CD，
∴∠DCG=∠CGB=90°，
∴四邊形AGCD是矩形．
∵AD=8cm，DC=8cm，
∴AD=DC，
∴矩形AGCD是正方形．
∴AG=GC=CD=AD=8cm．
∵AB=12cm，
∴GB=4cm，
∴tan∠CBG=2．
∵QB=t，
∴MQ=2t．
∵△NQM是等腰直角三角形，
∴MQ=NQ=2t．
∵四邊形ANEP是正方形，
∴PA=NA=t，
∴t+2t+t=12，
∴t=3；

（2）①當0＜t≤3時，如圖2，S=0；
②當3＜t≤4時，如圖3．
∵QB=t，
∴MQ=NQ=2t，
∴AN=AB-NQ-QB=12-3t．
∵PA=AF=t，
∴NF=AF-AN=t-（12-3t）=4t-12，
∴GF=NF=4t-12，
∴S=S_△NFG=

1

2

•GF•NF=

1

2

（4t-12）²=8（t-3）²；
③當4＜t≤6時，如圖4．
∵QB=t，
∴AQ=AB-QB=12-t，
∴AN=NQ-AQ=8-（12-t）=t-4=AH，
∴PH=AP-AH=t-（t-4）=4，
∴S=S_{正方形APEF}-S_△PHG=t²-

1

2

×4×4=t²-8；
④當6＜t≤8時，如圖5．
∵QB=t，
∴AQ=AB-QB=12-t，
∴AN=NQ-AQ=8-（12-t）=t-4=AH，
∴PH=AP-AH=t-（t-4）=4=PG，
∴S=S_矩形APKQ-S_△PHG=t（12-t）-

1

2

×4×4=-t²+12t-8；

（3）當點M在線段CD上運動時，4≤t≤8，由t=4與t=8時的圖形可知，
當4≤t≤8時△PGH掃過的平面部分為梯形ADRL，如圖6．
∵RL=4（與t=4中圖形的DP相等），AD=8，DR=4，
∴S_梯形ADRL=

1

2

（RL+AD）•DR=

1

2

（4+8）×4=24．
故此時段△PGH掃過平面部分的面積為24．

點評：本題考查了梯形、等腰直角三角形的性質，矩形、正方形的判定與性質，圖形面積的計算，有一定難度．利用數形結合及分類討論是解題的關鍵．