Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．點(diǎn)M是AB邊上一點(diǎn)，且∠CMB＝45°．點(diǎn)Q是直線AB上一點(diǎn)且在點(diǎn)B的右側(cè)，BQ＝4，點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑作半圓P，交直線AB分別于點(diǎn)G，H(點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè))．

（1）當(dāng)t＝1秒時(shí)，PC的長(zhǎng)為　　　　，t＝　　　　秒時(shí)，半圓P與AD相切；

（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求半圓P被矩形ABCD的對(duì)角線AC所截得的弦長(zhǎng)；

（3）若∠MCP＝15°，請(qǐng)直接寫出扇形HPC的弧長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）；； （2） ； （3）π或π．

【解析】

（1）由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度可找出t=1秒時(shí)PQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出BP的長(zhǎng)，在Rt△BCP中，利用勾股定理可求出PC的長(zhǎng)；設(shè)當(dāng)半圓P與AD相切時(shí)，BP=x，則PC=PA=4-x，利用勾股定理可得出關(guān)于x的方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合PQ=BQ+BP即可求出此時(shí)t的值；
（2）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，利用面積法可求出BE的長(zhǎng)，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的長(zhǎng)，再利用垂徑定理可求出半圓P被矩形ABCD的對(duì)角線AC所截得的弦長(zhǎng)；
（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)M的右側(cè)兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，∠CPB=60°，通過解直角三角形可求出PC的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式得到結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，∠CPB=30°，通過解直角三角形可求出PC的長(zhǎng)，再再利用弧長(zhǎng)公式得到結(jié)論．

（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，PQ=2，
∴BP=BQ-PQ=2，
在Rt△BCP中，BP=2，BC=3，
∴PC=，
設(shè)當(dāng)半圓P與AD相切時(shí)，BP=x，則PC=PA=4-x，
∴x2+32=（4-x）2，
解得：x=，
∴PQ=4+=，
∴當(dāng)t= 時(shí)，半圓P與AD相切；
故答案為：；；
（2）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，如圖2所示．

∵AB=4，BC=3，
∴AC==5，
∴BE=．
在Rt△BCE中，BC=3，BE=，
∴CE=，
∴半圓P被矩形ABCD的對(duì)角線AC所截得的弦長(zhǎng)為 ；
（3）分兩種情況考慮，如圖3所示：

①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，∵∠CMB=45°，∠MCP=15°，
∴∠MCB=45°，∠PCB=30°，
∴∠CPB=60°，CP= ，
∴扇形HPC的弧長(zhǎng)為 π；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，∵∠MCB=45°，∠MCP=15°，
∴∠PCB=∠MCB+∠MCP=60°，
∴∠CPB=30°，CP==6，
∴扇形HPC的弧長(zhǎng)為=π，
綜上所述，若∠MCP=15°，扇形HPC的弧長(zhǎng)為π或π，
故答案為：π或π．