【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)H,點(diǎn)G在弧BD上,連接AG,交CD于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,且EG=EK.

(1)求證:EF是⊙O的切線(xiàn);
(2)若⊙O的半徑為13,CH=12,AC∥EF,求OH和FG的長(zhǎng).

【答案】
(1)證明:連接OG,

∵弦CD⊥AB于點(diǎn)H,

∴∠AHK=90°,

∴∠HKA+∠KAH=90°,

∵EG=EK,

∴∠EGK=∠EKG,

∵∠HKA=∠GKE,

∴∠HAK+∠KGE=90°,

∵AO=GO,

∴∠OAG=∠OGA,

∴∠OGA+∠KGE=90°,

∴GO⊥EF,

∴EF是⊙O的切線(xiàn)


(2)解:連接CO,在Rt△OHC中,

∵CO=13,CH=12,

∴HO=5,

∴AH=8,

∵AC∥EF,

∴∠CAH=∠F,

∴tan∠CAH=tan∠F= = ,

在Rt△OGF中,∵GO=13,

∴FG= =


【解析】(1)連接OG,首先證明∠EGK=∠EKG,再證明∠HAK+∠KGE=90°,進(jìn)而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF,進(jìn)而證明EF是⊙O的切線(xiàn);(2)連接CO,利用勾股定理計(jì)算出HO的長(zhǎng),然后可得tan∠CAH=tan∠F= = ,再利用三角函數(shù)在Rt△OGF中計(jì)算出FG的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線(xiàn)的判定定理的相關(guān)知識(shí),掌握切線(xiàn)的判定方法:經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn),以及對(duì)解直角三角形的理解,了解解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)如圖①,當(dāng)直線(xiàn)l與⊙O相切于點(diǎn)C時(shí),求證:AC平分∠DAB;

(2)如圖②,當(dāng)直線(xiàn)l與⊙O相交于點(diǎn)E,F(xiàn)時(shí),求證:∠DAE=∠BAF.

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【題目】如圖,一只甲蟲(chóng)在55的方格(每一格邊長(zhǎng)為1)上沿著網(wǎng)格線(xiàn)運(yùn)動(dòng),A處出發(fā)去看望B、C、D處的甲蟲(chóng),規(guī)定:向上向右為正,向下向左為負(fù).例如:從AB記為:(+1,+3);從CD 記為:(+1,-2),其中第一個(gè)數(shù)表示左右方向,第二個(gè)數(shù)表示上下方向.

(1)填空:記為 , ), 記為 , );

(2)若甲蟲(chóng)的行走路線(xiàn)為:,請(qǐng)你計(jì)算甲蟲(chóng)走過(guò)的路程.

(3)若這只甲蟲(chóng)去Q的行走路線(xiàn)依次為:A→M(+2,+2),M→N(+2,-1),N→P(-2,+3),P→Q(-1,-2),請(qǐng)依次在圖2標(biāo)出點(diǎn)M、N、P、Q的位置.

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【問(wèn)題情境】如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,點(diǎn)B表示的數(shù)為8,點(diǎn)P從點(diǎn) A 出發(fā), 以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒 2個(gè)單 位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0).

【綜合運(yùn)用】(1) 填空:

①A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=__________,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為_______

②用含t的代數(shù)式表示:t秒后,點(diǎn)P表示的數(shù)為_______;點(diǎn)Q表示的數(shù)為_____.

(2) 求當(dāng)t為何值時(shí),P、Q 兩點(diǎn)相遇,并寫(xiě)出相遇點(diǎn)所表示的數(shù);

(3)求當(dāng)t為何值時(shí),PQ=AB;

(4)若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn),點(diǎn)N為PB的中點(diǎn),點(diǎn) P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度是否發(fā) 生變化?若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不變,請(qǐng)求出線(xiàn)段MN的長(zhǎng).

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