Question

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（5,0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為M(2,-9)，連接BM，點(diǎn)P為線段BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式．

(2)過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，求四邊形ACPQ面積的最大值．

(3)是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，或 或

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為，將化成頂點(diǎn)式，然后將點(diǎn)代入，化簡(jiǎn)計(jì)算即可；

（2）求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)化簡(jiǎn)求解即可；

（3）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)分別求解即可.

解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為，

設(shè)拋物線的表達(dá)式為.

將點(diǎn)代入得，.

解得

二次函數(shù)的表達(dá)式為；

（2）令，得，

.

拋物線的對(duì)稱軸為直線，，

.

由，可得直線的表達(dá)式為，

設(shè)點(diǎn)，則，

則

.

,,

當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值，最大值為；

（3）存在，由（2）知直線的表達(dá)式為.

設(shè)，其中，

由，，可得，

，，；

分情況討論如下：

1. 當(dāng)時(shí)，有.

解得（舍），，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

2. 當(dāng)時(shí)，有.

解得（舍），，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

3. 當(dāng)時(shí)，有.

解得

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或 或.