【題目】如圖是一個二次函數(shù)的圖象,頂點是原點O,且過點A(2,1),
(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)我們把橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點稱為整點,請用整數(shù)n表示這條拋物線上所有的整點坐標(biāo).
(3)過y軸的正半軸上一點C(0,a)作AO的平行線交拋物線于點B,
①求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式(用a表示);
②如果點B是整點,求證:△OAB的面積是偶數(shù).
【答案】(1)y=x2;(2)拋物線上整點坐標(biāo)可表示為(2n,n2),其中n為整數(shù);(3)①y=x+a;②詳見解析.
【解析】
(1)可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,然后只需把點A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式,就可解決問題;
(2)由拋物線的解析式可知,要使y是整數(shù),只需x是偶數(shù),故x可用2n表示(n為整數(shù)),由此就可解決問題;
(3)①可運用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式,然后根據(jù)兩直線平行一次項的系數(shù)相同,就可得到直線BC的函數(shù)表達(dá)式;②由于點B是整點,點B的坐標(biāo)可表示為(2n,n2),代入直線BC的解析式,即可得到a的值(用n表示),然后根據(jù)平行等積法可得S△OAB=S△OAC=n(n-1),由于n與n-1是相鄰整數(shù),必然一奇一偶,因而n(n-1)是偶數(shù),問題得以解決.
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2,
把A(2,1)代入y=ax2,得1=4a,
解得a=,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2;
(2)拋物線上整點坐標(biāo)可表示為(2n,n2),其中n為整數(shù);
(3)①設(shè)直線OA的解析式為y=kx,
把點A(2,1)代入y=kx,得1=2k,
解得k=,
∴直線OA的解析式為y=x,
則過點C(0,a)與直線OA平行的直線的解析式為y=x+a;
②證明:∵點B是整點,
∴點B的坐標(biāo)可表示為(2n,n2),其中n為整數(shù),
把B(2n,n2)代入y=x+c,得n2=n+c,
∴c=n2﹣n=n(n﹣1).
∵BC∥OA,
∴S△OAB=S△OAC=×c×2=c=n(n﹣1).
∵n為整數(shù),
∴n與n﹣1一奇一偶,
∴n(n﹣1)是偶數(shù),
∴△OAB的面積是偶數(shù).
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【題目】有一個截面的邊緣為拋物線的拱橋橋洞,橋洞壁離水面AB的最大高度是2米,水面寬度AB為4米.把截面圖形放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中.
(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
(2)若水面下降1米,求水面寬度增加了多少米?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分線EF交BC于點D,交AB于點E,且BE=BF,添加一個條件,仍不能證明四邊形BECF為正方形的是
A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,斜邊AB=2,O是AB的中點,以O為圓心,線段OC的長為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF,弧EF經(jīng)過點C,則圖中陰影部分的面積為________.
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【題目】如圖,點A是雙曲線y=﹣在第二象限分支上的一個動點,連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為底作等腰△ABC,且∠ACB=120°,點C在第一象限,隨著點A的運動,點C的位置也不斷變化,但點C始終在雙曲線y=上運動,則k的值為_____.
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【題目】如圖,已知⊙O的半徑是4,點A,B,C在⊙O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E為AB中點,EF∥DC交BC于點F,求EF的長.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點A(﹣6,0),C(0,2).將矩形OABC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn),使點A恰好落在OB上的點A1處,則點B的對應(yīng)點B1的坐標(biāo)為_____.
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點為A(2,-2),并且經(jīng)過B(1,0),C(3,0),求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
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