Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如圖1，若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，求證：△ADF∽△ABC；

（2）如圖2，

在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；
（3）如圖3，

若α=45°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，

∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，

又∵∠BAC=2∠DAE，

∴∠BAC=∠DAF，

∵AB=AC，

∴ = ，

∴△ADF∽△ABC

（2）

解：∵點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，

∴EF=DE，AF=AD，

∵α=45°，

∴∠BAD=90°﹣∠CAD，

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，

∴∠BAD=∠CAF，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，

所以，DE2=BD2+CE2

（3）

解：DE2=BD2+CE2還能成立．

理由如下：作點(diǎn)D關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接EF、CF，

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，EF=DE，AF=AD，

∵α=45°，

∴∠BAD=90°﹣∠CAD，

∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，

∴∠BAD=∠CAF，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴CF=BD，∠ACF=∠B，

∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，

∴∠ECF=180°﹣∠BCF=180°﹣90°=90°，

在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，

所以，DE2=BD2+CE2．

【解析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似證明；（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；（3）作點(diǎn)D關(guān)于AE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接EF、CF，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可．