【題目】如圖①,拋物線y=a(x2+2x-3)(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OB.
(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)是( , ),并求拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸是直線l,連接BD,線段OC上的點(diǎn)E關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E'恰好在線段BD上,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)F為拋物線第二象限圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接BF,CF,當(dāng)△BCF的面積是△ABC面積的一半時(shí),求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).
【答案】(1)-3,0;y=-x2-2x+3;(2)(0,2);(3)(-2,3)或(-1,4)
【解析】
(1)解方程a(x2+2x-3)=0可得B(-3,0),A(1,0),易得C(0,-3a),則利用OB=OC得到-3a=3,解得a=-1,從而得到拋物線解析式;
(2)如圖②,把一般式配方得到y=-(x+1)2+4,則D(-1,4),利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=2x+6,設(shè)E(0,t),利用對(duì)稱的性質(zhì)得E′(-2,t),然后把E′(-2,t)代入y=2x+6求出t,從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)易得直線BC的解析式為y=x+3,作FG∥y軸交直線BC于G,如圖③,設(shè)F(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),則G(x,x+3),所以FG=-x2-3x,利用三角形面積公式得到S△FBC=×3×(-x2-3x),然后利用△BCF的面積是△ABC面積的一半得到×3×(-x2-3x)=××4×3,然后解方程求出x從而得到F點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)當(dāng)y=0時(shí),a(x2+2x-3)=0,解得x1=-3,x2=1,則B(-3,0),A(1,0),
當(dāng)x=0時(shí),y=-3a,則C(0,-3a),
∵OB=OC,
∴-3a=3,解得a=-1,
∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3;
故答案為-3,0;
(2)如圖,
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴D(-1,4),
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,
把B(-3,0)、(-1,4)代入得,解得,
∴直線BD的解析式為y=2x+6,
設(shè)E(0,t),
∵E′點(diǎn)與點(diǎn)E關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,
∴E′(-2,t),
把E′(-2,t)代入y=2x+6得t=-4+6=2,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,2);
(3)易得直線BC的解析式為y=x+3,作FG∥y軸交直線BC于G,如圖,
設(shè)F(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),則G(x,x+3),
∴FG=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x,
∴S△FBC=×3×(-x2-3x),
∵△BCF的面積是△ABC面積的一半,
∴×3×(-x2-3x)=××4×3,解得x1=-1,x2=-2,
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)或(-1,4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,D是AC的中點(diǎn),E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過點(diǎn)A作BE的平行線與線段ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,連接AE,CF.
(1)求證:AF=CE;
(2)若AC=EF,試判斷四邊形AFCE是什么樣的四邊形,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),E為AC邊上一點(diǎn),且 ∠ADE=60°,BD=4,CE=,則△ABC的面積 為( )
A. B. 15 C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在10×10的網(wǎng)格中,橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn),例如A(3,0),B(4,3)都是格點(diǎn)。將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C 、D)。
(1)作出△COD,并寫出下列各點(diǎn)的坐標(biāo):C( ),D( );
(2)僅用無刻度的直尺找一格點(diǎn)E,使得EB⊥AB,請(qǐng)標(biāo)明格點(diǎn)E的位置;
(3)僅用無刻度的直尺在OB上找一點(diǎn)F,使得∠OAF=45°(請(qǐng)標(biāo)明輔助格點(diǎn)M的位置)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表:
… | … | ||||||
… | … |
根據(jù)上表填空:
①拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是________和________;
②拋物線經(jīng)過點(diǎn),________;
③在對(duì)稱軸右側(cè),隨增大而________;
試確定拋物線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的方程x2-4(k-1)x+4k2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2
(1) 求k的取值范圍
(2) 若x1x2-2|x1+x2|=4,求k的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在□ABCD中,E,F分別為邊AB和CD的中點(diǎn),連接DE,BF,且AB=2AD=4.
(1)求證:△AED≌△CFB;
(2)當(dāng)四邊形DEBF為菱形時(shí),求出該菱形的面積;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:y=﹣x﹣1,雙曲線y=,在l上取一點(diǎn)A1,過A1作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B1,過B1作y軸的垂線交l于點(diǎn)A2,請(qǐng)繼續(xù)操作并探究:過A2作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2,過B2作y軸的垂線交l于點(diǎn)A3,…,這樣依次得到l上的點(diǎn)A1,A2,A3,…,An,…記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為an,若a1=2,則a2018=_____;若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去,則a1不可能取的值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A為x軸上一點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b),以OA,AB為邊構(gòu)造OABC,過點(diǎn)O,C,B的拋物線與x軸交于點(diǎn)D,連結(jié)CD,交邊AB于點(diǎn)E,若AE=BE,則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為( 。
A.a﹣bB.C.D.
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