已知an-bm≠0,a≠0,ax2+bx+c=0,mx2+nx+p=0,求證:(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm).
分析:本題是一道證明題,因?yàn)閍n-bm≠0,所以兩方程有相等的根,再將根代入其中一方程就可以得到證明.
解答:證明:∵an-bm≠0
∴方程ax2+bx+c=0和方程mx2+nx+p=0有相等的根.
方程ax2+bx+c=0可化為x2+
b
a
x+
c
a
=0   ①
方程mx2+nx+p=0可化為x2+
n
m
x+
p
m
=0   ②
把方程①-②可得:(
b
a
-
n
m
)x+(
c
a
-
p
m
)=0
解方程得:
bm-an
am
x+
cm-ap
am
=0
(bm-an)x+(cm-ap)=0
x=
ap-cm
bm-an

把x=
ap-cm
bm-an
代入方程ax2+bx+c=0
得:a(
ap-cm
bm-an
)
2
+b(
ap-cm
bm-an
)+c=0
a(ap-cm)2+b(ap-cm)(bm-an)+c(bm-an)2=0
a(ap-cm)2+(bm-an)(abp-bcm+bcm-can)=0
a(ap-cm)2+a(bm-an)(bp-cn)=0
∵a≠0,
∴兩邊同時除以a得到:(ap-cm)2+(bm-an)(bp-cn)=0
故(ap-cm)2=(bp-cn)(an-bm).
點(diǎn)評:本題考查一元二次方程的解,難度較大,要求同學(xué)們仔細(xì)思考,尋求解題方法,證題過程應(yīng)特別完整.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知直徑MN⊥弦AB,垂足為C,下列結(jié)論:①AC=BC;②
AN
=
BN
;
AM
=
BM
;④AM=BM.其中正確的個數(shù)為( 。

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24、已知:如圖,在∠POQ內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N,∠MOP=∠NOQ.
(1)畫圖并簡要說明畫法:在射線OP上取一點(diǎn)A,使點(diǎn)A到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最;在射線OQ上取一點(diǎn)B,使點(diǎn)B到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最;
(2)直接寫出AM+AN與BM+BN的大小關(guān)系.

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