Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，CD、BE分別為△ABC的中線，AF⊥CD，AG⊥BE，分別交CD、BE的延長(zhǎng)線于F、G兩點(diǎn)，試問：
（1）AF與AG相等嗎？為什么？
（2）當(dāng)∠A=90°時(shí)，其余條件不變，猜想AF

 

AG（用＞，=，＜填空）．
（3）當(dāng)∠A＞90°時(shí)，其余條件不變，猜想AF

 

AG（用＞，=，＜填空）．
（4）通過本題，你可以得到怎樣的結(jié)論？請(qǐng)用文字?jǐn)⑹觯?

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB=AC，CD、BE分別為△ABC的中線，利用SAS求證△ADC≌△AEB．再利用AAS求證△ACF≌△ABG即可．
（2）由（1）可得當(dāng)∠A=90°時(shí)，其余條件不變，猜想正確．
（3）由（1）可得當(dāng)∠A=90°時(shí)，其余條件不變，猜想正確，
（4）由前3個(gè)猜想成立．可得出結(jié)論等腰三角形的頂點(diǎn)到兩腰中線所在的直線的距離相等．

解答：解：（1）AF=AG．理由如下：
∵AB=AC，CD、BE分別為△ABC的中線，
∴AD=AE．在△ADC和△AEB中，

AD=AE ∠DAC=∠EAB AC=AB

∴△ADC≌△AEB．
∴∠ACD=∠ABE．
又∵∠AFC=∠AGB=90°，AC=AB，
∴△ACF≌△ABG．
∴AF=AG．
（2）同理可得AF=AG
（3）同理可得AF=AG
（4）等腰三角形的頂點(diǎn)到兩腰中線所在的直線的距離相等．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，但步驟繁瑣，屬于基礎(chǔ)題．