Question

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（ ，0），點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)0（0，0）．過(guò)邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M（點(diǎn)M不與點(diǎn)O，A重合）作MN丄AB于點(diǎn)N，沿著MN折疊該紙片，得頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，設(shè)OM=m，折疊后的△AM′N與四邊形OMNB重疊部分的面積為S．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)A′，落在第二象限時(shí)，A′M與OB相交于點(diǎn)C，試用含m的式子表示S；
（3）當(dāng)S= 時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABO中，點(diǎn)A（ ，0），點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)O（0，0），

∴OA= ，OB=1，

由OM=m，可得：AM=OA﹣OM= ﹣m，

根據(jù)題意，由折疊可知△BMN≌△AMN，

∴BM=AM= ﹣m，

在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2，

可得： ，解得m= ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，0）；

（2）

解：在Rt△ABO中，tan∠OAB= ，

∴∠OAB=30°，

由MN⊥AB，可得：∠MNA=90°，

∴在Rt△AMN中，MN=ANsin∠OAB= ，

AN=ANcos∠OAB= ，

∴ ，

由折疊可知△A'MN≌△AMN，則∠A'=∠OAB=30°，

∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°，

∴在Rt△COM中，可得CO=OMtan∠A'MO= m，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

即 ；

（3）

解：①當(dāng)點(diǎn)A′落在第二象限時(shí)，把S的值代入（2）中的函數(shù)關(guān)系式中，解方程求得m，根據(jù)m的取值范圍判斷取舍，兩個(gè)根都舍去了；

②當(dāng)點(diǎn)A′落在第一象限時(shí)，則S=SRt△AMN，根據(jù)（2）中Rt△AMN的面積列方程求解，根據(jù)此時(shí)m的取值范圍，把S= 代入，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，0）．

【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出BM=AM，再由勾股定理進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)勾股定理和三角形的面積得出△AMN，△COM和△ABO的面積，進(jìn)而表示出S的代數(shù)式即可；（3）把S= 代入解答即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的翻折變換（折疊問(wèn)題），需要了解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能得出正確答案．