Question

如圖，正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC為邊的正方形，P、Q為它們的中心，M是BC的中點，試判斷MP、MQ在數量和位置是有什么關系？并證明你的結論．

Answer 1

解：MP、MQ之間的關系是MP=MQ，MP⊥MQ，

證明：取AB得中點H，AC的中點K，連接PH，HM，PM，QK，KM，MQ，
∵P和Q分別為兩正方形的中心，
∴△APB與△AQC都為等腰直角三角形，
∴QK=AC，PH=AB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
又HM與KM都為△ABC的中位線，
∴HM=AC，MK=AB，
∴QK=HM，MK=PH，
∴HM∥AC，MK∥AB，
∴∠BHM=∠BAC，∠CKM=∠BAC，
∴∠BHM=∠CKM，
又PH⊥AB，QK⊥AC（等腰三角形的三線合一），
∴∠PHB=∠QKC=90°，
∴∠BHM+∠PHB=∠CKM+∠QKC，即∠MHP=∠QKM，
∴△MHP≌△QKM（SAS），
∴PM=QM；
設PM與AB交于點O，
∵△MHP≌△QKM，∴∠HPM=∠KMQ，
∵KM∥AB，∴∠AOP=∠PMO，
∵∠PHB=90°，∴∠HPO+∠POH=90°，
∴∠PMK+∠KMQ=90°，即∠PMQ=90°，
∴PM⊥QM．
分析：取AB和AC的中點分別為H和K，連接PH、PM、HM、QK、KM、QM，由正方形的性質可知三角形APB與三角形ACQ都為等腰直角三角形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PH等于AB的一半，QK等于AC的一半，然后由MH和MK都為三角形ABC的中位線，根據中位線定理得到HM等于AC的一半，MK等于AB的一半，等量代換得到PH=MK，HM=QK，然后由中位線定理得到MH與AC平行，MK與AB平行，根據兩直線平行同位角相等，再等量代換得到∠BHM=∠CKM，兩邊都加上直角，得到∠PHM=∠MKQ，利用SAS即可得到三角形PMH與三角形KQM全等，根據全等三角形的對應邊相等得到PM=QM；由全等得到∠MPH=∠QMK，再由MK與AB平行，得到同位角相等，由PH與AB垂直得到一對銳角互余，等量代換得到∠PMK與∠KMQ互余，即∠PMQ為直角，從而得到PM與QM垂直．
點評：本題主要考查了正方形的性質，矩形的性質和判定，三角形的中位線定理，梯形的中位線定理等知識點，綜合運用性質進行證明是解此題的關鍵．