【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,D是邊AB上一點,且∠A=2∠DCB.EBC邊上的一點,以EC為直徑的⊙O經(jīng)過點D.

(1)求證:AB⊙O的切線;

(2)若CD的弦心距為1,BE=EO,求BD的長.

【答案】1證明見解析;(2BD=2.

【解析】試題分析:(1)連接OD,如圖1所示,由OD=OC,根據(jù)等邊對等角得到一對角相等,再由∠DOB△COD的外角,利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和,等量代換可得出∠DOB=2∠DCB,又∠A=2∠DCB,可得出∠A=∠DOB,又∠ACB=90°,可得出直角三角形ABC中兩銳角互余,等量代換可得出∠B∠ODB互余,即OD垂直于BD,確定出AB為圓O的切線,得證;

2)法1:過OOM垂直于CD,根據(jù)垂徑定理得到MDC的中點,由BD垂直于OD,得到三角形BDO為直角三角形,再由BE=OE=OD,得到OD等于OB的一半,可得出∠B=30°,進(jìn)而確定出∠DOB=60°,又OD=OC,利用等邊對等角得到一對角相等,再由∠DOB為三角形DOC的外角,利用外角的性質(zhì)及等量代換可得出∠DCB=30°,在三角形CMO中,根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到OC=2OM,由弦心距OM的長求出OC的長,進(jìn)而確定出ODOB的長,利用勾股定理即可求出BD的長;

2:過OOM垂直于CD,連接ED,由垂徑定理得到MCD的中點,又OEC的中點,得到OM為三角形EDC的中位線,利用三角形中位線定理得到OM等于ED的一半,由弦心距OM的長求出ED的長,再由BE=OE,得到ED為直角三角形DBO斜邊上的中線,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,由DE的長求出OB的長,再由ODOB的長,利用勾股定理即可求出BD的長.

試題解析:(1)證明:連接OD,如圖1所示:

∵OD=OC,

∴∠DCB=∠ODC,

∠DOB△COD的外角,

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB,

∵∠A=2∠DCB

∴∠A=∠DOB,

∵∠ACB=90°,

∴∠A+∠B=90°,

∴∠DOB+∠B=90°

∴∠BDO=90°,

∴OD⊥AB,

∵D⊙O上,

∴AB⊙O的切線;

2)解法一:

過點OOM⊥CD于點M,如圖1,

OD=OE=BE=BO,BDO=90°,

∴∠B=30°

∴∠DOB=60°,

∵OD=OC,

∴∠DCB=∠ODC

∵∠DOB△ODC的外角,

∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB,

∴∠DCB=30°

Rt△OCM中,∠DCB=30°OM=1,

∴OC=2OM=2,

∴OD=2,BO=BE+OE=2OE=4,

RtBDO中,根據(jù)勾股定理得:BD=;

解法二:

過點OOM⊥CD于點M,連接DE,如圖2

∵OM⊥CD,

∴CM=DM,又OEC的中點,

∴OM△DCE的中位線,且OM=1,

∴DE=2OM=2

Rt△OCM中,∠DCB=30°,OM=1,

∴OC=2OM=2,

∵Rt△BDO中,OE=BE,

DE=BO,

∴BO=BE+OE=2OE=4,

∴OD=OE=2

RtBDO中,根據(jù)勾股定理得BD=

考點: 1.切線的判定;2.30度角的直角三角形;3.垂徑定理;4圓周角定理.

練習(xí)冊系列答案
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(1)每轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤所獲購物券金額的平均數(shù)是多少?

(2)若在此商場購買100元的貨物,那么你將選擇哪種方式獲得購物券?

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