【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)(2,6),且與直線y=x+1相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在y軸上,過點(diǎn)B作BC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若P是直線AB上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,求線段PE的最大值;
(3)在(2)的條件,設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q,當(dāng)線段PC與BE相互平分時(shí),請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+x+1;(2)4;(3)(,),(,).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)首先表示出P,E點(diǎn)坐標(biāo),再利用PE=PD-ED,結(jié)合二次函數(shù)最值求法進(jìn)而求出PE的最大值;
(3)根據(jù)題意可得:PE=BC,則-x2+4x=3,進(jìn)而求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),再利用直線上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案.
試題解析:(1)∵BC⊥x軸,垂足為點(diǎn)C(4,0),且點(diǎn)B在直線y=x+1上,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為:(4,3),
∵拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)(2,6)和點(diǎn)B(4,3),
∴,
解得:,
故拋物線的解析式為:y=-x2+x+1;
(2)如圖所示:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為;(x,-x2+x+1),
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(x, x+1),
∵PD⊥x軸于點(diǎn)D,且點(diǎn)P在x軸上,
∴PE=PD-ED=(-x2+x+1)-(x+1)
=-x2+4x
=-(x-2)2+4,
則當(dāng)x=2時(shí),PE的最大值為:4;
(3)∵PC與BE互相平分,
∴PE=BC,
∴-x2+4x=3,即x2-4x+3=0,
解得:x1=1,x2=3,
∵點(diǎn)Q分別時(shí)PC,BE的中點(diǎn),且點(diǎn)Q在直線y=x+1,
∴①當(dāng)x=1時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為:,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(,),
②當(dāng)x=3時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為:,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(,),
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(,),(,).
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