Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO= ．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD下方的拋物線上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，作PM平行于y軸交直線AD于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)E，求△PHM的周長的最大值；
（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)E為端點(diǎn)，在直線EP的右側(cè)作一條射線與拋物線交于點(diǎn)N，使得∠NEP為銳角，在線段EB上是否存在點(diǎn)G，使得以E，N，G為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠ACO= ，

∴OC=4．

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4

∴B（4，0）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4）．

∵將x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4

（2）解：∵拋物線的對稱軸為x=﹣ = ，C（0，﹣4），點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴D（3，﹣4）．

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b．

∵將A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得： ，解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直線AD的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1．

∵直線AD的一次項(xiàng)系數(shù)k=﹣1，
∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y軸，

∴∠AEP=90°．

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周長=PM+MH+PH=PM+ MP+ PM=（1+ ）PM．

設(shè)P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），則PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，

∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，

∴當(dāng)a=1時(shí)，PM有最大值，最大值為4．

∴△MPH的周長的最大值=4×（1+ ）=4+4

（3）解：如圖1所示；當(dāng)∠EGN=90°．

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴ 時(shí)，△AOC∽△EGN．

∴ = ，整理得：a2+a﹣8=0．

解得：a= （負(fù)值已舍去）．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ ，0）．

如圖2所示：當(dāng)∠EGN=90°．

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2﹣3a﹣4）．

∵∠EGN=∠AOC=90°，

∴ 時(shí)，△AOC∽△NGE．

∴ =4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

解得：a= （負(fù)值已舍去）．

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ ，0）．

∵EN在EP的右面，

∴∠NEG＜90°．

如圖3所示：當(dāng)∠ENG′=90°時(shí)，

EG′=EG× × =（ ﹣1）× = ．

∴點(diǎn)G′的橫坐標(biāo)= ．

∵ ≈4.03＞4，

∴點(diǎn)G′不在EG上．

故此種情況不成立．

綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）先由銳角三角函數(shù)的定義求得C的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）先求得拋物線的對稱軸，從而得到點(diǎn)D（3，-4），然后利用待定系數(shù)法可求得直線AD的解析式，根據(jù)直線AD的一次項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)得出∠BAD=45°，進(jìn)而得出△PMD為等腰直角三角形，所當(dāng)PM有最大值時(shí)三角形的周長最大，設(shè)P（a，a2-3a-4），M（-a-1），則PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根據(jù)△MPH的周長=（）PM，即可以得出答案；
（3）當(dāng)∠EGN=90°時(shí)，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，0），則N（a，a2-3a-4），則EG=a-1，NG=-a2+3a+4，故OA∶OC＝EG∶GN ;如果△AOC∽△EGN，然后根據(jù)題意列方程求解判斷是否適合題意即可 �！�

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．