Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC．

Answer 1

【答案】證明：延長(zhǎng)BF交DE于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
延長(zhǎng)BF交DE于H，
∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，
∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CDE=90°，
∴∠DHF=90°，
∴BF⊥DE，
在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF= =4．
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．
∴DE∥FC．

【解析】首先由四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可證得△BCF≌△DCE，再延長(zhǎng)BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，則可得BF⊥DE，再根據(jù)由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的長(zhǎng)，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的長(zhǎng)，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，進(jìn)而證明DE∥FC．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．