Question

11．（1）已知：如圖1，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE，連接CE．求證：①BD=CE，②AC=CE+CD；聰明的小明做完上題后進行了進一步變式探究．
（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點D為BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE，類比題（1），請你猜想線段BD、CD、DE之間會有怎樣的關系，請直接寫出，不需論證；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若D點在BC的延長線上運動，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．
①題（2）的結論還成立嗎？請說明理由；
②連結BE，若BE=10，BC=6，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出結論；②由△ABD≌△ACE，以及等邊三角形的性質，就可以得出AC=DC+CE；
（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理得出CE²+CD²=DE²，即可得到BD²+CD²=DE²；
（3）①運用（2）中的方法得出BD²+CD²=DE²；②根據(jù)Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得CE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，進而得出CD=8-6=2，在Rt△DCE中，求得DE=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{68}$，最后根據(jù)△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的長．

解答 解：（1）①如圖1，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵BD=CE，AC=BC，
又∵BC=BD+CD，
∴AC=CE+CD；

（2）BD²+CD²=DE²．
證明：如圖2，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
∴Rt△DCE中，CE²+CD²=DE²，
∴BD²+CD²=DE²；

（3）①（2）中的結論還成立．
理由：如圖3，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°=∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE²+CD²=DE²，
∴BD²+CD²=DE²；

②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，
∴CE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴BD=CE=8，
∴CD=8-6=2，
∴Rt△DCE中，DE=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{68}$，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{DE}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{68}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{34}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等．解題時注意：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．