Question

【題目】如圖，在正方形外取一點(diǎn)，連接、、，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到直線的距離為；④；⑤正方形．其中正確的是（ ）

A.①②③④B.①②④⑤C.①③④D.①②⑤

Answer 1

【答案】D

【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EDC＝∠PDA，再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；②利用①中的全等，可得∠APD＝∠CED，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得∠CEP＝90°，即可證；③過C作CF⊥DE，交DE的延長線于F，利用②中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求CE，結(jié)合△DEP是等腰直角三角形，可證△CEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、CF；⑤在Rt△CDF中，利用勾股定理可求CD2，即是正方形的面積；④連接AC，求出△ACD的面積，然后減去△ACP的面積即可．

解：①∵DP⊥DE，

∴∠PDE＝90°，

∴∠PDC＋∠EDC＝90°，

∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝CD，

∴∠PDC＋∠PDA＝90°，

∴∠EDC＝∠PDA，

在△APD和△CED中

∴（SAS）（故①正確）；

②∵，

∴∠APD＝∠CED，

又∵∠CED＝∠CEA＋∠DEP，∠APD＝∠PDE＋∠DEP，

∴∠CEA＝∠PDE＝90°，（故②正確）；

③過C作CF⊥DE，交DE的延長線于F，

∵DE＝DP，∠EDP＝90°，

∴∠DEP＝∠DPE＝45°，

又∵②中∠CEA＝90°，CF⊥DF，

∴∠FEC＝∠FCE＝45°，

∵，∠EDP＝90°，

∴

∴，

∴CF＝EF＝，

∴點(diǎn)C到直線DE的距離為（故③不正確）；

⑤∵CF＝EF＝，DE＝1，

∴在Rt△CDF中，CD2＝（DE＋EF）2＋CF2＝，

∴S正方形ABCD＝CD2＝（故⑤正確）；

④如圖，連接AC，

∵△APD≌△CED，

∴AP＝CE＝，

∴＝S△ACD﹣S△ACP＝S正方形ABCD﹣×AP×CE＝×（）﹣××＝．（故④不正確）．

故選：D．