Question

如圖，下列四個(gè)關(guān)系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，選出其中的兩個(gè)關(guān)系作為命題的題設(shè)，命題的結(jié)論：四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)一個(gè)真命題和一個(gè)假命題．
你寫(xiě)的真命題是：已知：在四邊形ABCD中，______，______；
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：______．
你寫(xiě)的假命題是：
題設(shè)：______；
結(jié)論：四邊形ABCD是平行四邊形，你認(rèn)為它是假命題的理由是：______．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)平行四邊形的判定方法就可以組合出不同的結(jié)論，然后即可證明．
其中解法一是證明兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；
解法二是證明兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形；
解法三是證明一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
解法四是證明兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形．
解答：解：真命題如下：
已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四邊形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
解法二：
已知：在四邊形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
解法三：
已知：在四邊形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
解法四：
已知：在四邊形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

假命題如下：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．
∵AD∥BC，AB=CD在四邊形ABCD中，是一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案可以是：①，④；∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
∵AD∥BC，AB=CD在四邊形ABCD中，是一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形共有五種判定方法，記憶時(shí)要注意技巧；這五種方法中，一種與對(duì)角線(xiàn)有關(guān)，一種與對(duì)角有關(guān)，其他三種與邊有關(guān)．