Question

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長，交AD于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：PC²=PE•PF；
（2）若菱形邊長為8，PE=2，EF=6，求FB的長．

Answer 1

分析：（1）可由相似三角形△AEP∽△FAP對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解，也可由平行線分線段成比例定理進(jìn)行求解，兩者均可；
（2）由題中已知線段的長度，結(jié)合（1）中的結(jié)論，再由平行線分線段成比例，即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：
法1：∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=DA，∠ADP=∠CDP，DC∥AB，
又∵DP是公共邊，∴△DAP≌△DCP，
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
由DC∥FA得，∠F=∠DCP，
∴∠F=∠DAP，又∵∠EPA=∠APF
∴△AEP∽△FAP，
∴PA²=PE•PF
∴PC²=PE•PF．
法2：∵四邊形ABCD是菱形
∴DC∥AB，AD∥BC（1分）
∴

PC

PF

=

DP

PB

，

DP

PB

=

PE

PC

（4分）
∴

PC

PF

=

PE

PC

∴PC²=PE•PF．
（2）解：∵PE=2，EF=6，∴PF=8，
∵PC²=PE•PF，∴PC²=16∴PC=4，
∵DC∥FB
∴

FB

DC

=

PF

PC

，
又DC=8，∴

FB

8

=

8

4

∴FB=16．

點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握．