【題目】如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn),連接DE,將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到EG,過(guò)點(diǎn)GGFCB,垂足為F,GHAB,垂足為H,連接DG,交ABI

1)求證:四邊形BFGH是正方形;

2)求證:ED平分∠CEI

3)連接IE,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,則BEI的周長(zhǎng)為   

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(36

【解析】

1)先證根據(jù)∠F∠GHB∠ABF90°證得四邊形BFGH為矩形,再證明△DCE△EFG進(jìn)而可證得BFFG,根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形即可得證;

2)延長(zhǎng)EC到點(diǎn)M,使得CMAI,連接DM,先證△ADI△CDM可得DIDM,∠ADI=∠CDM,進(jìn)而可證△EDM△EDI得∠DEI=∠DEC,即可得證;

3)由(2)可知IEEMECCMECAI,則△BEI的周長(zhǎng)為BIBEIEBIBEECAIABBC,由此可求得答案.

1)證明:∵將DE繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EG

DEEG,∠DEG90°,

∠DEC∠GEF90°

∵在正方形ABCD

∠C∠ABC∠ABF90°,BCCD,

∠DEC∠CDE90°

∠CDE∠GEF,

GF⊥CBGH⊥AB,

∠F∠GHB90°,

∠F∠GHB∠ABF90°,

四邊形BFGH為矩形,

△DCE△EFG中,

∴△DCE△EFGAAS

EFCD,FGCE,

EFBC,

EFBEBCBE

BFCE,

BFFG,

∴矩形BFGH為正方形;

2)證明:如圖,延長(zhǎng)EC到點(diǎn)M,使得CMAI,連接DM,

∵在正方形ABCD

∴∠ADC=∠A=∠DCE=∠DCM90°,ADCD,

△ADI△CDM中,

△ADI△CDMSAS

DIDM,∠ADI=∠CDM

DEEG,∠DEG90°,

∴∠EDG=∠EGD45°,

ADC90°,

∴∠ADI+∠CDE45°,

∠EDM=∠CDM+∠CDE45°

∴∠EDM=∠EDG,

△EDM△EDI中,

△EDM△EDISAS

∴∠DEI=∠DEC

DE平分∠IEC;

3)解:由(2)可知△EDM△EDI,

IEEMECCM,

∵CMAI,

IEECCMECAI,

∴△BEI的周長(zhǎng)為BIBEIEBIBEECAIABBC,

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,

∴△BEI的周長(zhǎng)為ABBC6

故答案為:6

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)O在線段AP的垂直平分線上?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知:如圖,BDAC,EFAC,點(diǎn)DF分別是垂足,∠1=∠4

試說(shuō)明:∠ADG=∠C

解:∵BDACEFAC(已知)

∴∠290°390°(垂直的定義)

∴∠2=∠3(等量代換)

BDEF   

∴∠4=∠5(兩直線平行同位角相等)

∵∠1=∠4(已知)

1=∠5   

DGCB(內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行)

∴∠ADG=∠C   

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1)求證:BC是⊙O的切線;

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