Question

【題目】在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點．例如，圖中過點P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點．

（1）判斷點M（1，2），N（4，4）是否為和諧點，并說明理由；

（2）若和諧點P（a，3）在直線y＝－x＋b（b為常數）上，求a，b的值；

（3）若直線y＝2x＋12上存在和諧點，寫出此點的坐標：（ ）.

Answer 1

【答案】（1）M不是和諧點，N是和諧點；（2）a=6，b=9或a=－6，b=－3；（3） 或（-3，6）或（-4，4）.

【解析】試題分析：（1）利用和諧點的定義直接判斷得出即可；

（2）利用和諧點的定義，得出3×|a|=2×（|a|＋3），然后通過分類討論即可得；

（3）分三種情況：點在第一象限，點在第二象限，點在第三象限，按定義進行計算即可得.

試題解析：（1）M不是和諧點，N是和諧點.根據題意，對于M而言，面積為1×2=2，周長為2×（1＋2）=6，所以M不是和諧點，對于N而言，面積為4×4=16，周長為2×（4＋4）=16，所以N是和諧點.

（2）因為P（a，3）是和諧點，所以根據題意得3×|a|=2×（|a|＋3）.

①當a＞0時，3a=2（a＋3），3a=2a＋6，解得a=6，將（6，3）代入y=－x＋b得3=－6＋b，解得b=9.

②當a＜0時，－3a=2（－a＋3），－3a=－2a＋6，解得a=－6，將（－6，3）代入y=－x＋b得3=6＋b，解得b=－3.

所以a=6，b=9或a=－6，b=－3.

（3） 或（-3，6）或（-4，4）.