【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0.
(1)求證:方程恒有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若此方程的一個根是1,請求出方程的另一個根,并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長.
【答案】
(1)證明:∵△=(m+2)2﹣4(2m﹣1)=(m﹣2)2+4,
∴在實數(shù)范圍內(nèi),m無論取何值,(m﹣2)2+4>0,即△>0,
∴關(guān)于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0恒有兩個不相等的實數(shù)根
(2)解:根據(jù)題意,得
12﹣1×(m+2)+(2m﹣1)=0,
解得,m=2,
則方程的另一根為:m+2﹣1=2+1=3;
①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時,由勾股定理得斜邊的長度為: ;
該直角三角形的周長為1+3+ =4+ ;
②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時,由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為2 ;則該直角三角形的周長為1+3+2 =4+2
【解析】(1)根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0的根的判別式的符號來證明結(jié)論;(2)根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值,然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根.分類討論:①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是2、3時,由勾股定理得斜邊的長度為: ;②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時,由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為 ;再根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計算.
【考點精析】關(guān)于本題考查的求根公式和勾股定理的概念,需要了解根的判別式△=b2-4ac,這里可以分為3種情況:1、當(dāng)△>0時,一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當(dāng)△=0時,一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當(dāng)△<0時,一元二次方程沒有實數(shù)根;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動,△DEF運動,并滿足:點E在邊BC上沿B到C的方向運動,且DE、始終經(jīng)過點A,EF與AC交于M點.
(1)求證:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF運動過程中,重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形?若能,求出BE的長;若不能,請說明理由;
(3)當(dāng)線段AM最短時,求重疊部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“一帶一路”讓中國和世界更緊密,“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示,燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn),燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度,燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.
(1)填空:∠BAN=_____°;
(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒,燈A射線才開始轉(zhuǎn)動,在燈B射線到達(dá)BQ之前,A燈轉(zhuǎn)動幾秒,兩燈的光束互相平行?
(3)如圖2,若兩燈同時轉(zhuǎn)動,在燈A射線到達(dá)AN之前.若射出的光束交于點C,過C作∠ACD交PQ于點D,且∠ACD=120°,則在轉(zhuǎn)動過程中,請?zhí)骄?/span>∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變,請求出其數(shù)量關(guān)系;若改變,請說明理由.
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【題目】如圖,正方形的邊長為2,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓,則圖中陰影部分的面積為(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字,參考數(shù)據(jù)π≈3.14)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠用如圖甲所示的長方形和正方形紙板,做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長方體形狀的無蓋紙盒.
(1)現(xiàn)有正方形紙板162張,長方形紙板340張.若要做兩種紙盒共100個,設(shè)做豎式紙盒x個.
①根據(jù)題意,完成以下表格:
紙盒 紙板 | 豎式紙盒(個) | 橫式紙盒(個) |
x | 100﹣x | |
正方形紙板(張) | 2(100﹣x) | |
長方形紙板(張) | 4x |
②按兩種紙盒的生產(chǎn)個數(shù)來分,有哪幾種生產(chǎn)方案?
(2)若有正方形紙162張,長方形紙板a張,做成上述兩種紙盒,紙板恰好用完.已知290<a<306.求a的值.
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【題目】有以下說法:其中正確的說法有( )
(1)開方開不盡的數(shù)是無理數(shù);
(2)無理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)
(3)無理數(shù)包括正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù);
(4)無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示;
(5)循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F.切點為G,連接AG交CD于K.
(1)求證:KE=GE;
(2)若KG2=KDGE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若sinE= ,AK=2 ,求FG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD平分∠BAC交BC于點D,點F在BA的延長線上,點E在線段CD上,EF與AC相交于點G,∠BDA+∠CEG=180°.
(1)AD與EF平行嗎?請說明理由;
(2)若點H在FE的延長線上,且∠EDH=∠C,則∠F與∠H相等嗎,請說明理由.
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