【題目】如圖,在△ABC中,D為AC上一點(diǎn),且CD=CB,以BC為直徑作⊙O,交BD于點(diǎn)E,連接CE,過D作DF⊥AB于點(diǎn)F,∠BCD=2∠ABD.

(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若∠A=60°,DF= ,求⊙O的直徑BC的長.

【答案】
(1)

證明:∵CD=CB,

∴∠CBD=∠CDB,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠CBE=90°,

∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE,

∴∠BCE=∠DCE,

即∠BCD=2∠BCE,

∵∠BCD=2∠ABD,

∴∠ABD=∠BCE,

∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°,

∴CB⊥AB,

∵CB為直徑,

∴AB是⊙O的切線


(2)

解:∵∠A=60°,DF=

∴在Rt△AFD中,AF= = =1,

在Rt△BFD中,BF=DFtan60°= × =3,

∵DF⊥AB,CB⊥AB,

∴DF∥BC,

∴∠ADF=∠ACB,

∵∠A=∠A,

∴△ADF∽△ACB,

= ,

∴CB=4


【解析】此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).注意證得△ADF∽△ACB是解此題的關(guān)鍵.
(1)由CD=CB,∠BCD=2∠ABD,可證得∠BCE=∠ABD,繼而求得∠ABC=90°,則可證得AB是⊙O的切線;(2)由∠A=60°,DF= ,可求得AF、BF的長,易證得△ADF∽△ACB,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)十字框中五個(gè)數(shù)之和能等于 2 005 嗎?若能,請(qǐng)寫出這五個(gè)數(shù);若不能, 說明理由.

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(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)(如圖2),EBFD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)加以證明;

(3)四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,∠EGD是否發(fā)生變化?如果改變,請(qǐng)說明理由;如果不變,請(qǐng)?jiān)趫D3中求出∠EGD的度數(shù).

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求證:;

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∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定義)

∴DG∥AC(

∴∠2=

∵∠1=∠2(已知)

∴∠1=∠ (等量代換)

∴EF∥CD(

∴∠AEF=∠

∵EF⊥AB(已知)

∴∠AEF=90°(

∴∠ADC=90°(

∴CD⊥AB(

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