Question

平面直角坐標系中,M(36,0),⊿OMN是等腰直角三角形,∠ONM=90°

(1) 直接寫出N的坐標;
(2) 正方形ABCD是⊿OMN的內接正方形,求正方形邊長;
(3) 在（2）的情況下，點P為線段AB上一點,以P為圓心,PB為半徑的圓交線段AD于點E.當B,E,N在一條直線上時,求⊙P半徑;
(4) 在(3)的情況下,線段CD上取點F,使∠EBF=45°,連結EF,判斷直線EF與⊙P是否相切.若是,寫出推理過程;若不是,說明理由.

Answer 1

(1) N(18,18) (2) 12(3) (4) 相切

(1)N(18,18) ---------2分
(2) ∵⊿AOB,⊿CDM是等腰直角三角形
∴OB=AB=BC=CD=CM==12---------3分
∴正方形邊長為12
(3)作NG⊥AD于G點      ∵⊿ABE∽⊿GNE---------1分
∴= =2        ∴AE=4,EG=2---------1分
設⊙P半徑為r,則PE=r,AP=AB-PB=12-r
∵Rt⊿APE中,AP²+AE²=PE²    ∴(12-r)²+4²=r²,r= ---------2分
(4)延長DC到H,使CH=AE               則⊿ABE≌⊿CBH
∴∠ABE=∠CBH,BE=BH,
∵∠EBF=45°       ∴∠HBF=∠HBC+∠CBF=45°
∴⊿BEF≌⊿BHF---------1分      ∴EF=FH, ---------1分
∵,,
∴        ∴PE⊥EF---------1分
直線EF與⊙P相切
(1)根據等腰直角三角形的性質求解
(2)求得⊿AOB,⊿CDM是等腰直角三角形，則可求得正方形的邊長
(3)作NG⊥AD于G點，可得⊿ABE∽⊿GNE，求得AE=4,EG=2，根據勾股定理求得⊙P半徑
(4)延長DC到H,使CH=AE，求得⊿ABE≌⊿CBH，⊿BEF≌⊿BHF，利用三角形的角之間的關系，求得，從而得出結論