Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F．

（1）如圖1，直按寫出的值　 　；

（2）將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接AE、DF，猜想DF與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，當(dāng)BE＝BA時(shí)，其他條件不變，△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），當(dāng)α為何值時(shí)，EA＝ED？在圖3或備用圖中畫出圖形，并直接寫出此時(shí)α＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）DF＝AE，理由見解析；（3）作圖見解析，30°或150°

【解析】

(1)直接利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出，進(jìn)而得出△ABE∽△DBF，即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出點(diǎn)E在AD的中垂線上，再判斷出△BCE是等邊三角形，求出∠CBE=60°，再分兩種情況計(jì)算即可得出結(jié)論．

(1)∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ABD=45，BD=AB，

∵EF⊥AB，

∴∠BEF=90，

∴∠BFE=∠ABD=45，

∴BE=EF，

∴BF=BE，

∴DF=BD﹣BF=AB﹣BE= (AB﹣BE)=AE，

∴，

故答案為：；

(2)DF=AE，

理由：由(1)知，BF=BE，BD=AB，∠BFE=∠ABD=45，

∴，

由旋轉(zhuǎn)知，∠ABE=∠DBF，

∴△ABE∽△DBF，

∴，

∴DF=AE；

(3)如圖3，連接DE，CE，

∵EA=ED，

∴點(diǎn)E在AD的中垂線上，

∴AE=DE，BE=CE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠ABC=90，AB=BC，

∴BE=CE=BC，

∴△BCE是等邊三角形，

∴∠CBE=60，

∴∠ABE=∠ABC-∠CBE=90-60=30，

即：α=30，

如圖4，同理，△BCE是等邊三角形，

∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90+60=150，

即：α=150，

故答案為：30或150．