【題目】解答
(1)如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,∠EAF=45°,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證:EF=FG.
(2)如圖,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:在正方形ABCD中,
∠ABE=∠ADG,AD=AB,
在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∴∠EAG=90°,
在△FAE和△GAF中,
,
∴△FAE≌△GAF(SAS),
∴EF=FG
(2)解:如圖,過點(diǎn)C作CE⊥BC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°.
∵CE⊥BC,∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中,
∴△ABM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE,∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°.
于是,由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中,
∴△MAN≌△EAN(SAS).
∴MN=EN.
在Rt△ENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2.
∴MN2=BM2+NC2.
∵BM=1,CN=3,
∴MN2=12+32,
∴MN=
【解析】(1)證△ADG≌△ABE,△FAE≌△FAG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可;(2)過點(diǎn)C作CE⊥BC,垂足為點(diǎn)C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.通過證明△ABM≌△ACE(SAS)推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM=AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM=∠CAE;然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°,所以△MAN≌△EAN(SAS),故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN=EN;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2 .
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx﹣5(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4,﹣5),與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=5OB,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)連接AB,BC,CD,DA,求四邊形ABCD的面積.
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【題目】如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),連接PA,PB,PC,以BP為邊作∠PBQ=60,且BQ=BP,連接CQ.
(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若PA=3,PB=4,PC=5,連接PQ,試判斷△PQC的形狀,并說明理由。
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【題目】如圖,陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的圖形又是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的圖形.若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是( )
A.M(1,﹣3),N(﹣1,﹣3)
B.M(﹣1,﹣3),N(﹣1,3)
C.M(﹣1,﹣3),N(1,﹣3)
D.M(﹣1,3),N(1,﹣3)
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【題目】小聰用刻度尺畫已知角的平分線,如圖,在∠MAN兩邊上分別量取AB=AC,AE=AF,連接FC,EB交于點(diǎn)D,作射線AD,則圖中全等的三角形共有________對(duì).
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【題目】如圖,已知拋物線與x交于A(﹣1,0)、E(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)B(0,3)
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D,求四邊形AEDB的面積.
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【題目】取一副三角板按圖1拼接,固定三角板ADC,將三角板ABC繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為α的角 (0°<α≤45°)得到△ABC′,如圖所示.試問:
(1)當(dāng)α為多少度時(shí),能使得圖2中AB∥DC.
(2)連接BD,當(dāng)0°<α≤45°時(shí),探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況,并給出你的證明.
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【題目】某校準(zhǔn)備組織290名學(xué)生進(jìn)行野外考察活動(dòng),行李件數(shù)比學(xué)生人數(shù)的一半還少45.學(xué)校計(jì)劃租用甲、乙兩種型號(hào)的汽車共8輛,經(jīng)了解,甲種汽車每輛最多能載40人和10件行李,乙種汽車最多能載30人和20件行李.
(1)求行李有多少件?
(2)現(xiàn)計(jì)劃租用甲種汽車x輛,請(qǐng)你幫學(xué)校設(shè)計(jì)所有可能的租車方案.
(3)如果甲、乙兩種汽車每輛的租車費(fèi)分別是2000元、1800元,請(qǐng)你選擇最省錢的一種租車方案,并求出至少的費(fèi)用是多少元.
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【題目】如圖,在⊙O中,直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P,∠CAB=40°,∠APD=65°.
(1)求∠B的大;
(2)已知圓心0到BD的距離為3,求AD的長(zhǎng).
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