Question

【題目】某學校要在圍墻旁建一個長方形的中藥材種植實習苗圃，苗圃的一邊靠圍墻（墻的長度不限），另三邊用木欄圍成，建成的苗圃為如圖所示的長方形ABCD．已知木欄總長為120米，設AB邊的長為x米，長方形ABCD的面積為S平方米．
（1）求S與x之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）．當x為何值時，S取得最值（請指出是最大值還是最小值）？并求出這個最值；
（2）學校計劃將苗圃內(nèi)藥材種植區(qū)域設計為如圖所示的兩個相外切的等圓，其圓心分別為O1和O2 ， 且O1到AB、BC、AD的距離與O2到CD、BC、AD的距離都相等，并要求在苗圃內(nèi)藥材種植區(qū)域外四周至少要留夠0.5米寬的平直路面，以方便同學們參觀學習．當（l）中S取得最值時，請問這個設計是否可行？若可行，求出圓的半徑；若不可行，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=x，∴BC=120﹣2x，

∴S=x（120﹣2x）=﹣2x2+120x；

當x= =30時，S有最大值為 =1800

（2）解：設圓的半徑為r米，路面寬為a米，

根據(jù)題意得：

解得：

∵路面寬至少要留夠0.5米寬，

∴這個設計不可行

【解析】（1）表示出BC的長120﹣2x，由矩形的面積公式得出答案；（2）設出圓的半徑和藥材種植區(qū)外四中平面路面的寬，利用題目中的等量關系列出二元一次方程組，求得半徑和路面寬，當路面寬滿足題目要求時，方案可行，否則不行．
【考點精析】通過靈活運用相切兩圓的性質(zhì)，掌握如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線即可以解答此題．