Question

3．如圖，菱形ABCD和菱形BEFG的邊長分別為3和2，∠A=60°，則圖中陰影部分的面積是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 方法一：過點E作EQ⊥AD于點Q，記BC與DE交點為P，先證△BPE∽△ADE，從而得BP=$\frac{6}{5}$，繼而知PG的長，在Rt△AQE中根據(jù)QE=AEsinA求得QE的長，最后由陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×PG×EQ可得答案；
方法二：連接BD，過點D作DQ⊥EG，交EG延長線于點Q，作BP⊥GE，利用菱形的性質(zhì)證BD∥GE得DQ=BP，從而由S_陰影=$\frac{1}{2}$GE•DQ=$\frac{1}{2}$GE•BP=S_△BGE可得答案．

解答 解：方法一：過點E作EQ⊥AD于點Q，記BC與DE交點為P，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴△BPE∽△ADE，
∴$\frac{BP}{AD}$=$\frac{EB}{EA}$，即$\frac{BP}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得：BP=$\frac{6}{5}$，
∴PG=BG-BP=2-$\frac{6}{5}$=$\frac{4}{5}$，
在Rt△AQE中，∵∠A=60°，
∴QE=AEsinA=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×PG×EQ=$\sqrt{3}$，

方法二：如圖2，連接BD，過點D作DQ⊥EG，交EG延長線于點Q，作BP⊥GE，

∵∠A=60°，且四邊形ABCD和四邊形BEFG均為菱形，
∴∠DBA=∠GEB=60°，
∴BD∥GE，
∴DQ=BP，
∵BE=BG=2、∠GBE=∠A=60°，
∴△BGE為等邊三角形，
則S_陰影=$\frac{1}{2}$GE•DQ=$\frac{1}{2}$GE•BP=S_△BGE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，求得DN和BH的長是解題的關(guān)鍵．