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先觀察下列各式：
1
1×4
=
1
3
(1-
1
4
)，
1
4×7
=
1
3
(
1
4
-
1
7
)，
1
7×10
=
1
3
(
1
7
-
1
10
)，…
1
n(n+3)
=
1
3
(
1
n
-
1
n+3
)．
根據以上的觀察，計算：
1
1×4
+
1
4×7
+
1
7×10
+…+
1
2005×2008
的值．
分析：由式
1
1×4
=
1
3
(1-
1
4
)，
1
4×7
=
1
3
(
1
4
-
1
7
)，
1
7×10
=
1
3
(
1
7
-
1
10
)，…
1
n(n+3)
=
1
3
(
1
n
-
1
n+3
)可以看出，分子是1，分母是相差3的兩個自然數的乘積等于以這兩個自然數為分母，分子是1的兩個分數差的
1
3
，由此規(guī)律把原算式裂項，求得結果即可．
解答：解：原式=
1
3
×（1-
1
4
）+
1
3
×（
1
4
-
1
7
）+
1
3
×（
1
7
-
1
10
）+…+
1
3
×（
1
2005
-
1
2008
）
=
1
3
×（1-
1
4
+
1
4
-
1
7
+
1
7
-
1
10
+…+
1
2005
-
1
2008
）
=
1
3
×（1-
1
2008
）
=
1
3
×
2007
2008

=
669
2008
．
點評：此題考查利用分數的拆項，把有理數的混合運算，轉化為有規(guī)律的簡便運算，使計算簡便可行．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：閱讀理解

請先閱讀下列一組內容，然后解答問題：
先觀察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…
1
9×10
=
1
9
-
1
10

將以上等式兩邊分別相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
9×10
=+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
9
-
1
10
)=
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
9
-
1
10
=1-
1
10
=
9
10

然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：
（1）猜想并寫出：
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n
1
n-1
-
1
n
；
（2）直接寫出下列各式的計算結果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2010×2011
=
2010
2011
2010
2011
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
；
（3）探究并計算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2012×2014
．

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