Question

已知：如下圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°。點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DB=DC，∠DCB=30°。點(diǎn)E為BD延長線上一點(diǎn)，且AE=AB。
（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)M在DE上，且DM=DA，求證：ME=DC。

Answer 1

解：（1）如下圖：

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直線垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠2=∠BAC==15°
∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°；
（2）連接AM，取BE的中點(diǎn)N，連接AN。如下圖：

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，
∴△ADM為等邊三角形，
∵△ABE中，AB=AE，N為BE的中點(diǎn)，
∴BN=NE，且AN⊥BE，
∴DN=NM，
∴BN－DN =NE－NM，
即 BD=ME，
∵DB=DC，
∴ME = DC。