Question

在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有DF=CF．如圖（2），若點(diǎn)P在線段AO上（不與點(diǎn)A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E，
（1）求證：DF=EF；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明DF=EF，連接PD，證明PD=PE，利用等腰三角形的性質(zhì)，底邊上三線合一，可以得出結(jié)論．
（2）由CE=CF-EF，又有PC和CF的關(guān)系、PA和EF的關(guān)系，結(jié)合到一起可以求解．
解答：證明：如圖①連接PD，∵四邊形ABCD是正方形，
AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF．

（2）如圖②，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H，
由（1）知：PA=PH=DF=EF
PC=CF
∴PC-PA=（CF-EF），
即PC-PA=CE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，合理的作出輔助線，利用各邊之間的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)換的思想求證．