【題目】如圖,拋物線y=+bx+c的對稱軸為x=﹣1,該拋物線與x軸交于A、B兩點,且A點坐標為(1,0),交y軸于C(0,3),設(shè)拋物線的頂點為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標.

(2)試判斷BCD的形狀,并予證明.

(3)在對稱軸上是否存在一點P,使得ACP為等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣2x+3,頂點D為(﹣1,4);(2)DCB為直角三角形,理由詳見解析;(3) 存在滿足條件的點P,其坐標為(﹣1,1)或(﹣1,)或(﹣1,)或(﹣1,0)或(﹣1,6).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)拋物線的對稱性得到點B的坐標為(﹣3,0),故設(shè)拋物線為兩點式方程y=a(x﹣1)(x+3),把點C的坐標代入即可求得a的值;利用配方法將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式,即可得到頂點D的坐標;

(2)過D作DTy軸于T,則可求得DCT=45°,BCO=45°,則可判斷BCD的形狀;

(3)可設(shè)出P(﹣1,t),則可分別表示出AP、CP、AC的長度,分AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況分別可得到關(guān)于t的方程,可求得P點坐標.

試題解析:(1)點A(1,0)關(guān)于x=﹣1的對稱點B(﹣3,0),

設(shè)過A(1,0)、B(﹣3,0)的拋物線為y=a(x﹣1)(x+3),

該拋物線又過C(0,3),則有:3=﹣3a,解得a=﹣1,

即y==﹣2x+3,頂點D為(﹣1,4);

(2)DCB為直角三角形,理由如下:

過D點,作DTy軸于T,如圖1,

則T(0,4).

DT=TC=1,

∴△DTC為等腰直角三角形,

∴∠DCT=45°,

同理可證BCO=45°,

∴∠DCB=90°,

∴△DCB為直角三角形;

(3)設(shè)P(﹣1,t),

A(1,0),C(0,3),

==,==,==10,

∵△APC為等腰三角形,

有AP=CP、AP=AC和CP=AC三種情況,

當AP=CP時,則有=,即=,解得t=1,此時P(﹣1,1);

當AP=AC時,則有=,即=10,解得t=,此時P(﹣1,)或(﹣1,);

當CP=AC時,則有=,即=10,解得t=0或t=6,此時P(﹣1,0)或P(﹣1,6);

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(﹣1,1)或(﹣1,)或(﹣1,)或(﹣1,0)或(﹣1,6).

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成績()

9.40

9.50

9.60

9.70

9.80

9.90

人數(shù)

2

3

5

4

3

1

則入圍同學決賽成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是(

A.9.70,9.60B.9.609.60C.9.60,9.70D.9.65,9.60

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田徑

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籃球

水球

網(wǎng)球

臺球

足球

體操

游泳

舉重

射擊

擊劍

拳擊

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7

8

2

4

2

1

1

3

2

4

4

12

1

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1

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