Question

如圖，菱形ABCD中，點P是CD的中點，∠BCD=60°，射線AP交BC的延長線于點E，射線BP交DE于點K，點O是線段BK的中點．

（1）求證：△ADP≌△ECP；

（2）若BP=n•PK，試求出n的值；

（3）作BM丄AE于點M，作KN丄AE于點N，連結MO、NO，如圖2所示，請證明△MON是等腰三角形，并直接寫出∠MON的度數(shù)．

 

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，

在△ADP和△ECP中，

，

∴△ADP≌△ECP；

（2）如圖1，作PI∥CE交DE于I，

則=，又點P是CD的中點，

∴=，

∵△ADP≌△ECP，

∴AD=CE，

∴==，

∴BP=3PK，

∴n=3；

（3）如圖2，作OG⊥AE于G，

∵BM丄AE于，KN丄AE，

∴BM∥OG∥KN，

∵點O是線段BK的中點，

∴MG=NG，又OG⊥MN，

∴OM=ON，

即△MON是等腰三角形，

由題意得，△BPC，△AMB，△ABP為直角三角形，

設BC=2，則CP=1，由勾股定理得，BP=，

則AP=，

根據(jù)三角形面積公式，BM=，

由（2）得，PB=3PO，

∴OG=BM=，

MG=MP=，

tan∠MOG==，

∴∠MOG=60°，

∴∠MON的度數(shù)為120°．