Question

九年級上冊的教材第118頁有這樣一道習(xí)題：
“在一塊三角形余料ABC中，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如圖），使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？”
（1）請你解答上題；
（2）若將上題圖中的正方形PQMN改為矩形，其余條件不變，求矩形PQMN的面積S的最大值；
（3）我們把上面習(xí)題中的正方形PQMN叫做“BC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形”，若在習(xí)題的條件下，又知AB=150mm，AC=100mm，請分別寫出AB邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長和AC邊上的△ABC的內(nèi)接正方形的邊長（不必寫出過程，只要直接寫出答案即可，結(jié)果精確到1mm）；
（4）結(jié)合第（1）、（3）題，若三角形的三邊長分別為a，b，c，各邊上的高分別為h_a，h_b，h_c，要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大，請寫出a與h_a必須滿足的條件（不必寫出過程）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形的邊長為xmm，然后表示出AE的長度，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列出比例式，計算即可得解；
（2）設(shè)PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據(jù)AB、AC的長度求出相應(yīng)邊上的高，然后根據(jù)（1）中的方法計算即可；
（4）用三角形的邊長與相應(yīng)邊上的高表示出這邊上的內(nèi)接正方形的邊長，再根據(jù)正方形的面積越大，則邊長越大解答．

解答：解：（1）設(shè)正方形的邊長為xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

120

=

80-x

80

，
解得x=48mm；

（2）設(shè)PN=xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴

PN

BC

=

AE

AD

，
即

x

120

=

80-PQ

80

，
解得PQ=80-

2

3

x．
∴S=PN•PQ=x（80-

2

3

x）=-

2

3

x²+80x=-

2

3

（x-60）²+2400，
∴S的最大值為2400mm²；

（3）根據(jù)△ABC的面積，∵AB=150mm，AC=100mm，
∴AB邊上的高=

120×80

150

=64mm，
AC邊上的高=

120×80

100

=96mm，
根據(jù)（1）的方法，求AB邊上的內(nèi)接正方形的邊長，

x

150

=

64-x

64

，
解得x=

4800

107

≈45；
求AC邊上的內(nèi)接正方形的邊長，

x

100

=

96-x

96

，
解得x=

4800

98

≈49mm；

（4）根據(jù)（1）（3）題的結(jié)論，內(nèi)接正方形的邊長為三角形的面積除以相應(yīng)邊與這一邊上的高的和的一半，
所以，要使a邊上的三角形內(nèi)接正方形的面積最大，
必須a+h_a＜b+h_b且a+h_a＜c+h_c．

點評：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，此題規(guī)律性較強，是道好題．