【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點B和點C的坐標分別為(3,0)、(0,﹣3),拋物線的對稱軸為x=1,D為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式.
(2)點E為線段BC上一動點,過點E作x軸的垂線,與拋物線交于點F,求四邊形ACFB面積的最大值,以及此時點E的坐標.
(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PCD為等腰三角形?若存在,寫出點P點的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)四邊形ACFB面積的最大值為,此時點E的坐標為(,﹣);(3)存在滿足條件的P點,其坐標為(1,﹣3)或(1,﹣2)或(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣)
【解析】
(1)由B、C的坐標,結(jié)合拋物線對稱軸,根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(2)由B、C坐標可求得直線BC解析式,設出F點坐標,則可表示出E點坐標,從而可求得EF的長,則可表示出△CBF的面積,從而可表示出四邊形ACFB的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其最大值,進而求出E點的坐標;
(3)由拋物線解析式可求得D點坐標,可設P點坐標為(1,t),則可表示出PC、PD和CD的長,由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況,分別得到關于t的方程,即可求得P點坐標.
解:(1)∵點B和點C的坐標分別為(3,0)(0,﹣3),拋物線的對稱軸為x=1,
∴,解得,
∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3;
(2))設直線BC解析式為y=kx+b,
代入B(3,0),C(0,﹣3)得,
解得:,
∴直線BC解析式為y=x﹣3,
∵E點在直線BC上,F點在拋物線上,
∴設F(x,x2﹣2x﹣3),E(x,x﹣3),
∵點F在線段BC下方,
∴EF=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x,
∴S△BCF=EFOB=×3(﹣x2+3x)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,
又∵S△ABC=ABOC=×4×3=6,
∴S四邊形ACFB=S△ABC+S△BCF=6﹣(x﹣)2+=﹣(x﹣)2+,
∵﹣<0,
∴當x=時,S四邊形ACFB有最大值,最大值為,此時E點坐標為(,﹣),
綜上可得:四邊形ACFB面積的最大值為,此時點E的坐標為(,﹣);
(3)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴D(1,﹣4),且C(0,﹣3),
∵P點為拋物線對稱軸上的一點,
∴設P(1,t),
∴PC==,PD=|t+4|,CD==,
∵△PCD為等腰三角形,
∴分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況,
①當PC=PD時,則=|t+4|,解得t=﹣3,
∴此時P點坐標為(1,﹣3);
②當PC=CD時,則=,解得t=﹣2或t=﹣4(與D點重合,舍去),
∴此時P點坐標為(1,﹣2);
③當PD=CD時,則|t+4|=,解得t=﹣4+或t=﹣4﹣,
∴此時P點坐標為(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣);
綜上可知,存在滿足條件的P點,其坐標為(1,﹣3)或(1,﹣2)或(1,﹣4+)或(1,﹣4﹣).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線與軸交于兩點,與軸交于點,,矩形的邊,延長交拋物線于點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖2,點是直線上方拋物線上的一個動點,過點作軸的平行線交直線于點,作,垂足為.設的長為,點的橫坐標為,求與的函數(shù)關系是(不必寫出的取值范圍),并求出的最大值;
(3)如果點是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點,使得以為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在一個不透明的袋子中裝有大小、形狀完全相同的三個小球,上面分別標有1,2,3三個數(shù)字.
(1)從中隨機摸出一個球,求這個球上數(shù)字是奇數(shù)的概率是 ;
(2)從中先隨機摸出一個球記下球上數(shù)字,然后放回洗勻,接著再隨機摸出一個,求這兩個球上的數(shù)都是奇數(shù)的概率(用列表或樹狀圖方法)
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【題目】如圖,點A是拋物線對稱軸上的一點,連接OA,以A為旋轉(zhuǎn)中心將AO逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AO′,當O′恰好落在拋物線上時,點A的坐標為______________.
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【題目】在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其余均相同的m個小球,其中 5 個黑球, 從袋中隨機摸出一球,記下其顏色,這稱為依次摸球試驗,之后把它放回袋 中,攪勻后,再繼續(xù)摸出一球.以下是利用計算機模擬的摸球試驗次數(shù)與摸出黑球次數(shù)的列表:
摸球試驗次數(shù) | 100 | 1000 | 5000 | 10000 | 50000 | 100000 |
摸出黑球次數(shù) | 46 | 487 | 2506 | 5008 | 24996 | 50007 |
根據(jù)列表,可以估計出 m 的值是( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
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【題目】如圖,中,,于,,為邊上一點.
(1)當時,直接寫出 , .
(2)如圖1,當,時,連并延長交延長線于,求證:.
(3)如圖2,連交于,當且時,求的值.
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【題目】(8分)如圖,已知O是坐標原點,B、C兩點的坐標分別為(3,-1)、(2,1)。
(1)以O點為位似中心在y軸的左側(cè)將△OBC放大到兩倍畫出圖形。
(2)寫出B、C兩點的對應點B、C的坐標;
(3)如果△OBC內(nèi)部一點M的坐標為(x,y),寫出M的對應點M的坐標。
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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A(2,1),B兩點.
(1)求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式;
(2)請直接寫出B點的坐標,并指出使反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值的x的取值范圍.
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