Question

【題目】如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4﹣x于C、D兩點(diǎn)．拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵拋物線過原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx．

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣ x2+ x

（2）

解：存在．

設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入，

求得k= ，

∴直線OD解析式為y= x．

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x， x），N（x，﹣ x2+ x），

∴MN=|yM﹣yN|=| x﹣（﹣ x2+ x）|=| x2﹣4x|．

由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．

∴| x2﹣4x|=3．

若 x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，

解得：x= 或x= ；

若 x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，

解得：x= ．

∴存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為： 或 或

（3）

解：∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直線OC的解析式為y=3x，直線OD的解析式為y= x．

如解答圖所示，

設(shè)平移中的三角形為△A′O′C′，點(diǎn)C′在線段CD上．

設(shè)O′C′與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；

設(shè)A′C′與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．

設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），

則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t，0），Q（1+t， + t），C′（1+t，3﹣t）．

設(shè)直線O′C′的解析式為y=3x+b，

將C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，

∴直線O′C′的解析式為y=3x﹣4t．

∴E（ t，0）．

聯(lián)立y=3x﹣4t與y= x，解得x= t，

∴P（ t， t）．

過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG= t．

∴S=S△OFQ﹣S△OEP= OFFQ﹣ OEPG

= （1+t）（ + t）﹣ t t

=﹣ （t﹣1）2+

當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為 ．

∴S的最大值為 ．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）由題意，可知MN∥AC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則求出MN=| x2﹣4x|；解方程| x2﹣4x|=3，求出x的值，即點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值；（3）設(shè)水平方向的平移距離為t（0≤t＜3），利用平移性質(zhì)求出S的表達(dá)式：S=﹣ （t﹣1）2+ ；當(dāng)t=1時(shí)，s有最大值為 ．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．