【題目】如圖,過點(diǎn)A(5,)的拋物線y=ax2+bx的對稱軸是x=2,點(diǎn)B是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)C在y軸上,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求a、b的值;
(2)當(dāng)△BCD是直角三角形時(shí),求△OBC的面積;
(3)設(shè)點(diǎn)P在直線OA下方且在拋物線y=ax2+bx上,點(diǎn)M、N在拋物線的對稱軸上(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方),且MN=2,過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線OA于點(diǎn)Q,當(dāng)PQ最大時(shí),請直接寫出四邊形BQMN的周長最小時(shí)點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)當(dāng)△BDC為直角三角形時(shí),△OBC的面積是或;(3)點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)分別為,,.
【解析】
(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,利用對稱軸方程,聯(lián)立方程組,解方程組求得a、b的值;
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,m).由于沒有指明直角△BCD中的直角,所以需要分類討論:當(dāng)∠CBD=90°、∠CDB=90°、∠BCD=90°時(shí),利用勾股定理列出關(guān)于m的方程,通過解方程求得m的值;然后利用三角形的面積公式解答;
(3)利用待定系數(shù)法確定直線OA解析式為.由拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和兩點(diǎn)間的距離公式求得:PQ=x(x23x)=x2+x=(x)2+,所以利用二次函數(shù)最值的求得推知:當(dāng)PQ最大時(shí),線段BQ為定長.又因?yàn)?/span>MN=2,所以要使四邊形BQMN的周長最小,只需QM+BN最。幂S對稱-最短路徑問題得到點(diǎn)Q.最后利用方程思想解答.
解:(1)∵過點(diǎn)A(5, )的拋物線y=ax2+bx的對稱軸是x=2,
∴ ,
解之,得;
(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,m).由(1)可得拋物線,
∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,﹣3),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,0).
當(dāng)∠CBD=90°時(shí),有BC2+BD2=CD2.
∴ ,
解之,得,
∴;
當(dāng)∠CDB=90°時(shí),有CD2+BD2=BC2.
∴,
解之,得,
∴;
當(dāng)∠BCD=90°時(shí),有CD2+BC2=BD2.
∴,此方程無解.
綜上所述,當(dāng)△BDC為直角三角形時(shí),△OBC的面積是或;
(3)設(shè)直線y=kx過點(diǎn)A(5, ),可得直線.
由(1)可得拋物線,
∴PQ=x(x23x)=x2+x=(x)2+,
∴當(dāng)x=時(shí),PQ最大,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)是 .
∴PQ最大時(shí),線段BQ為定長.
∵MN=2,
∴要使四邊形BQMN的周長最小,只需QM+BN最小.
將點(diǎn)Q向下平移2個(gè)單位長度,得點(diǎn),作點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn),直線BQ2與對稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)N,此時(shí)四邊形BQMN的周長最。
設(shè)直線y=cx+d過點(diǎn)和點(diǎn)B(4,0),
則,
解之,得,
∴直線過點(diǎn)Q2和點(diǎn)B.
解方程組 得,
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為,
所以點(diǎn)Q、M、N的坐標(biāo)分別為 , ,.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點(diǎn)G,AF⊥DE于點(diǎn)F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC,∠BAC<60°,AD為的直徑,BE⊥AC交AD于P,BE的延長線交⊙O于點(diǎn)F,連結(jié)AF,CF,AD交BC于G,在不添加其他輔助線的情況下,圖中除AB=AC外,相等的線段共有( 。⿲Γ
A.2B.3C.4D.5
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸為直線x=﹣1,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:
①b2﹣4ac>0;
②2a=b;
③t(at+b)≤a﹣b(t為任意實(shí)數(shù));
④3b+2c<0;
⑤點(diǎn)(﹣,y1),(,y2),(,y3)是該拋物線上的點(diǎn),且y1<y3<y2,
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。
A.5B.4C.3D.2
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】知識改變世界,科技改變生活.導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行.如圖,某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘(用C表示)開展社會實(shí)踐活動,車到達(dá)A地后,發(fā)現(xiàn)C地恰好在A地的正北方向,且距離A地13千米,導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60°方向行駛至B地,再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達(dá)C地,求B、C兩地的距離.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分線.
(1)請尺規(guī)作圖:作⊙O,使圓心O在AB上,且AD為⊙O的一條弦.(不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)判斷直線BC與所作⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)四位數(shù),記千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為,十位數(shù)字與百位數(shù)字之和為,如果,那么稱這個(gè)四位數(shù)為“對稱數(shù)”
最小的“對稱數(shù)”為 ;四位數(shù)與之和為最大的“對稱數(shù)”,則的值為 ;
一個(gè)四位的“對稱數(shù)”,它的百位數(shù)字是千位數(shù)字的倍,個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和為,且千位數(shù)字使得不等式組恰有個(gè)整數(shù)解,求出所有滿足條件的“對稱數(shù)”的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi),三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,4),B(2,2),C(4,6)(正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長為1)
(1)畫出△ABC向下平移5個(gè)單位得到的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo);
(2)以點(diǎn)O為位似中心,在第三象限畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為1:2,直接寫出點(diǎn)C2的坐標(biāo)和△A2B2C2的面積.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com