Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB下方的半圓上不與點(diǎn)A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為AP中點(diǎn)，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交PB的廷長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連CE交AB于點(diǎn)F，連接DF．

（1）求證：△DAC≌△ECP；

（2）填空：

①四邊形ACED是何種特殊的四邊形？

②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DF、AP的數(shù)量關(guān)系是　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①四邊形ACED是平行四邊形；②DF=AP，

【解析】

（1）由已知條件易得∠CDE=∠DCA=∠DCP=∠P=90°，由此可得四邊形DCPE是矩形，從而可得DC=EP，這樣結(jié)合AC=PC即可由“SAS”證得△DAC≌△ECP；

（2）①由（1）中所得△DAC≌△ECP可得AD=CE，∠DAC=∠ECP，從而可得AD∥CE，由此即可得到四邊形ACED是平行四邊形；②由OA=OD,AD∥CE易得∠DAO=∠ADC=∠DCF，由此可得A、C、F、D四點(diǎn)共圓，結(jié)合∠DAF=∠ADC可得在該圓中弦DF=AC，結(jié)合點(diǎn)C是AP的中點(diǎn)即可得到DF=AP.

（1）∵DE為切線，

∴OD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∵點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，

∴DC⊥AP，

∴∠DCA=∠DCP=90°，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠APB=90°，

∴四邊形DEPC為矩形，

∴DC=EP，

∵在△DAC和△ECP中：，

∴△DAC≌△ECP；

（2）①∵△DAC≌△ECP，

∴AD=CE，∠DAC=∠ECP，

∴AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形；

②∵OA=OD，

∴∠DAF=∠ADC，

∵AD∥CE，

∴∠ADC=∠DCF，

∴∠DAF=∠DCF，

∴A，C，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，

又∵∠ADF=∠ADC，

∴AC=DF，

∵AC=AP，

∴DF=AP.