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【題目】如圖,平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(﹣2,2),點B的坐標為(6,6),拋物線經過A、O、B三點,連接OA、OB、AB,線段AB交y軸于點E.

(1)求點E的坐標;
(2)求拋物線的函數解析式;
(3)點F為線段OB上的一個動點(不與點O、B重合),直線EF與拋物線交于M、N兩點(點N在y軸右側),連接ON、BN,當點F在線段OB上運動時,求△BON面積的最大值,并求出此時點N的坐標;
(4)連接AN,當△BON面積最大時,在坐標平面內求使得△BOP與△OAN相似(點B、O、P分別與點O、A、N對應)的點P的坐標.

【答案】
(1)

解:設直線AB解析式為y=kx+b,

將A(﹣2,2),B(6,6)代入,得 ,解得 ,

∴y= x+3,令x=0,

∴E(0,3)


(2)

解:設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,

將A(﹣2,2),B(6,6),O(0,0)三點坐標代入,得 ,解得

∴y= x2 x


(3)

解:依題意,得直線OB的解析式為y=x,設過N點且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m,

聯立 ,得x2﹣6x﹣4m=0,當△=36+16m=0時,過N點與OB平行的直線與拋物線有唯一的公共點,則點N到BO的距離最大,所以△BON面積最大,

解得m=﹣ ,x=3,y= ,即N(3, );

此時△BON面積= ×6×6﹣ +6)×3﹣ × ×3=


(4)

解:過點A作AS⊥GQ于S,

∵A(﹣2,2),B(6,6),N(3, ),

∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,

OG=3,NG= ,NS= ,AS=5,

在Rt△SAN和Rt△NOG中,

∴tan∠SAN=tan∠NOG= ,

∴∠SAN=∠NOG,

∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG,

∴∠OAN=∠NOB,

∴ON的延長線上存在一點P,使得△BOP∽△OAN,

∵A(﹣2,2),N(3, ),

∵△BOP與△OAN相似(點B、O、P分別與點O、A、N對應),即△BOP∽△OAN,

∴BO:OA=OP:AN=BP:ON

又∵A(﹣2,2),N(3, ),B(6,6),

∴BO=6 ,OA=2 ,AN= ,ON=

∴OP= ,BP=

設P點坐標為(4x,x),

∴16x2+x2=( 2,

解得x= ,4x=15,

∵P、P′關于直線y=x軸對稱,

∴P點坐標為(15, )或( ,15).


【解析】(1)根據A、B兩點坐標求直線AB的解析式,令x=0,可求E點坐標;(2)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將A(﹣2,2),B(6,6),O(0,0)三點坐標代入,列方程組求a、b、c的值即可;(3)依題意,得直線OB的解析式為y=x,設過N點且與直線OB平行的直線解析式為y=x+m,與拋物線解析式聯立,得出關于x的一元二次方程,當△=0時,△BON面積最大,由此可求m的值及N點的坐標;(4)根據三角形相似的性質得到BO:OA=OP:AN=BP:ON,然后根據勾股定理分別計算出BO=6 ,OA=2 ,AN= ,ON= ,這樣可求出OP= ,BP= ,設P點坐標為(x,y),再利用勾股定理得到關于x,y的方程組,解方程組即可.

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