Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=10，BD=24，

（1）點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是 ；

（2）點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、BC、AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）13；（2）．

【解析】

試題解析：（1）如圖1中，取CD中點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，PE+PF的最小值=PE+PM=EM，由此即可解決問(wèn)題．

（2）如圖2，作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，當(dāng)EM⊥CD時(shí)，PE+PF=PE+PM=EM，此時(shí)PE+PF最短，由此即可解決問(wèn)題．

解：（1）如圖1，

取CD中點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，

∵四邊形ABCD是菱形，AC=10，DB=24，

∴AC⊥BD，AD=AB==13，

∵DM=MC，CF=FB，CD、CB關(guān)于AC對(duì)稱，

∴M、F關(guān)于AC對(duì)稱，

∴PE+PF=PE+PM=EM最小，

∵AE=EB．DM=MC，

∴AE=DM．AE∥DM，

∴四邊形ADME是平行四邊形，∴ME=AD=13．

（2）如圖2，

作點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接EM與AC交于點(diǎn)P，

當(dāng)EM⊥CD時(shí)，PE+PF=PE+PM=EM，此時(shí)PE+PF最短（垂線段最短），

∵S菱形ABCD=ACBD=ABEM，

∴×10×24=×13×EM，

∴EM=．