Question

已知拋物線y=

1

6

x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0），且滿(mǎn)足bc=0，b＜c．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M在直線y=2x上，點(diǎn)P在拋物線y=

1

6

x2+bx+c上，求當(dāng)以O(shè)、A、P、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件進(jìn)行討論b、c的情況分別結(jié)合A（5，0）代入解析式，即可確定拋物線的解析式；
（2）本題也要進(jìn)行分類(lèi)分析：一種情況為OA為邊時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合各已知點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的性質(zhì)求p點(diǎn)的坐標(biāo)，另一種情況為OA對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合各已知點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的性質(zhì)求p點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）把A（5，0）代入y=

1

6

x2+bx+c，得

25

6

+5b+c=0．①
∵bc=0，
∴b=0或c=0．
當(dāng)b=0時(shí)，代入①中，得c=-

25

6

＜b，舍去．
當(dāng)c=0時(shí)，代入①中，得b=-

5

6

，符合題意．
∴該拋物線的解析式為y=

1

6

x2-

5

6

x．

（2）①若OA為邊，則PM∥OA．
設(shè)M（m，2m），
∵OA=5，
∴P（m+5，2m）或P（m-5，2m）．
當(dāng)P（m+5，2m）時(shí)，
∵P點(diǎn)在拋物線上，
∴

1

6

(m+5)2-

5

6

(m+5)=2m，
解得m₁=0（舍），m₂=7．
∴P（12，14）．
當(dāng)P（m-5，2m）時(shí)，
∵P點(diǎn)在拋物線上，
∴

1

6

(m-5)2-

5

6

(m-5)=2m，
解得m₃=2，m₄=25．
∴P（-3，4）或P（20，50）．
②若OA為對(duì)角線，則PM為另一條對(duì)角線．
∵OA中點(diǎn)為（

5

2

，0），設(shè)M（m，2m），
∴P（5-m，-2m）．
∵P點(diǎn)在拋物線上，
∴

1

6

(5-m)2-

5

6

(5-m)=-2m，
解得m₅=0（舍），m₆=-7．
∴P（12，14）．
綜上，符合條件的P點(diǎn)共有3個(gè)，它們分別是P₁（12，14）、P₂（-3，4）、P₃（20，50）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線解析式的確定、拋物線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)定理，各小題中，都用到了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏，熟練二次函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用