【題目】如圖,拋物線與直線交于A,B兩點(diǎn),交x軸于D,C兩點(diǎn),連接,,已知,.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接,過(guò)點(diǎn)P作交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)設(shè)E為線段上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā),沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn),再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A后停止,當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少?
【答案】(1);(2)存在,且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36)或(,)或(,);(3)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少.
【解析】
(1)把A、C兩點(diǎn)代入拋物線解析式,即可得到關(guān)于m、n的方程組,解方程組即可求出m、n的值,進(jìn)而可得結(jié)果;
(2)先求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo),再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形,從而∠ACB=90°;過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,再分點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方和點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,分別利用相似三角形的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后代入拋物線的解析式即可求得x的值,問(wèn)題即得解決;
(3)如圖3,過(guò)A作射線AF∥x軸,過(guò)D作射線DF∥y軸,DF與AC交于點(diǎn)E,DF與AF交于點(diǎn)F,易求得點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)為:t==DE+EF=DF,此時(shí)點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)最少,然后求出點(diǎn)D坐標(biāo)后,把D的橫坐標(biāo)代入直線AC解析式即可求出結(jié)果.
解:(1)把,代入拋物線的解析式,得;,解得:,
∴拋物線的解析式為:;
(2)存在點(diǎn)P,使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.
聯(lián)立,解得:或,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).
∵C(3,0),B(4,1),A(0,3),
∴AB2=20,BC2=2,AC2=18,
∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,
∴∠ACB=90°,且tan∠BAC=;
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥y軸于G,則∠PGA=90°.
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x.
∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,∴∠APQ=∠ACB=90°.
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方,
①如圖2①,當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),則△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,
∴△PGA∽△BCA,∴,
∴AG=3PG=3x,則P(x,3﹣3x),
把P(x,3﹣3x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去);
②如圖2②,當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),則△PAQ∽△CBA.
同理可得:AG=PG=x,則P(x,3﹣x),
把P(x,3﹣x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=,
∴P(,);
若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,
①當(dāng)∠PAQ=∠CAB時(shí),則△PAQ∽△CAB,
∵△PGA∽△BCA,∴,
∴AG=3PG=3x,則P(x,3+3x),
把P(x,3+3x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=11;
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36).
②當(dāng)∠PAQ=∠CBA時(shí),則△PAQ∽△CBA.
同理可得:AG=PG=x,則P(x,3+x),
把P(x,3+x)代入,得,
解得:x1=0(舍去),x2=,
∴P(,);
綜上所述:滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36)或(,)或(,);
(3)如圖3,過(guò)A作射線AF∥x軸,過(guò)D作射線DF∥y軸,DF與AC交于點(diǎn)E,DF與AF交于點(diǎn)F.
∵A(0,3),C(3,0),∴lAC:y=﹣x+3,
∴OA=OC,∠AOC=90°,∴∠ACO=45°,
∵AF∥OC,∴∠FAE=45°,
∴EF=AEsin45°=,
∴點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)為:t==DE+EF=DF,即當(dāng)AF⊥DF時(shí),DE+EF取得最小值DF,此時(shí)點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中的用時(shí)最少,
∵拋物線的解析式為,令y=0,則,解得:,
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),則E點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,將x=2代入lAC:y=﹣x+3,得y=1,所以E(2,1).
即當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1)時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少.
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【題目】商場(chǎng)服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn):某牌童裝平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了迎接“六一”兒童節(jié),商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,擴(kuò)大銷售量,增加盈利,減少庫(kù)存,經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件童裝每降價(jià)4元,那么平均每天就可多售出8件,
(1)若商場(chǎng)要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元,那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元?
(2)若商場(chǎng)要想平均每天在銷售這種童裝上盈利最多,那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A,并與軸交于點(diǎn)C,S△AOC=15.點(diǎn)D是線段AC上一點(diǎn),CD:AC=2:3.
(1)求的值;
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)根據(jù)圖象,直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)不等式的的解集.
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【題目】如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接CP并延長(zhǎng),交AD于E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:.
(2)如果,求線段PC的長(zhǎng).
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【題目】已知關(guān)于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的兩根分別是x1、x2,則(x1﹣1)2+(x2﹣1)2的最小值是_____.
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【題目】已知直線l1:y=kx+b 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣,0)和點(diǎn)B(2,5).
(1)求直線l1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)C(a,a+2)與點(diǎn)D在直線l1上,過(guò)點(diǎn)D的直線l2與x軸正半軸交于點(diǎn) E,當(dāng)AC=CD=CE 時(shí),求DE的長(zhǎng).
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C.直線y=x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PM∥y軸交直線AC于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.
①若以點(diǎn)C、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求t的值.
②當(dāng)射線MP,AC,MO中一條射線平分另外兩條射線的夾角時(shí),直接寫(xiě)出t的值.
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【題目】若一個(gè)三位數(shù)t=(其中a、b、c不全相等且都不為0),重新排列各數(shù)位上的數(shù)字必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù),此最大數(shù)和最小數(shù)的差叫做原數(shù)的差數(shù),記為T(t).例如,539的差數(shù)T(539)=953﹣359=594.
(1)根據(jù)以上方法求出T(268)= ,T(513)= ;
(2)已知三位數(shù)(其中a>b>1)的差數(shù)T()=495,且各數(shù)位上的數(shù)字之和為3的倍數(shù),求所有符合條件的三位數(shù)的值.
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【題目】如圖,l1、l2、l3兩兩相交于A、B、C三點(diǎn),它們與y軸正半軸分別交于點(diǎn)D、E、F,若A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,yA)、(2,yB)、(3,yC),且OD=DE=1,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( 。EC=3EA,②S△ABC=1,③OF=5,④2yA﹣yA﹣yC=2
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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