Question

如圖①，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且PE=PB．

（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=　 　度．

Answer 1

解：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS）。
（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP。
∵PE=PB，∴∠CBP=∠E。∴∠DPE=∠DCE。

∵∠1=∠2（對(duì)頂角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE。
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC。
∴∠DPE=∠ABC。
（3）58

試題分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可。
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBP=∠CDP，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證。
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答：
與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°。