【題目】在平面直角坐標系中,O是坐標原點,矩OABC的位置如圖所示,點A,C的坐標分別為(10,0),(0,8),點P是y軸上的一個動點,將△OAP沿AP翻折得到:△O′AP,直線BC與直線O′P交于點E,與直線O′A交于點F.

(1)當O′落在直線BC上時,求折痕AP的長.
(2)當點P在y軸正半軸上時,若△PCE與△POA相似,求直線AP的解析式;
(3)在點P的運動過程中,是否存在某一時刻,使得 ?若存在,求點P坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:圖1,當O′落在直線BC上時,在RT△ABO′中,∵AO′=10,AB=8,

∴BO′= = =6,

∵△APO′是由△AOP翻折,

∴可以設PO=PO′=x,

在RT△PCO′中,∵PO′2=PC2+CO′2,

∴x2=(8﹣x)2+42,

∴x=5,

∴AP= = =5


(2)

解:當∠CPE=∠APO時,

∵∠CPE=∠APO=∠APO′=60°,

∴OP= OA= ,

設直線AP為y=kx+b,由題意 解得 ,

∴直線AP為y=﹣ x+

當∠CPE=∠OAP時,∠CEP=∠APO=∠APO′,此時AP∥EC,顯然不可能


(3)

解:情形1如圖2中,

∵CE= BC=2,

∴BE=8,AE= =8 ,EO′= =2 ,

設OP=x,在RT△PCE中,∵PE2=PC2+CE2,

∴(x﹣2 2=(8﹣x)2+22

∴x= ,此時P[0, ],

情形2如圖3中,

同理O′E=2 ,

設OP=x,在RT△PCE中,∵PE2=PC2+CE2,

∴(x+2 2=(8﹣x)2+22,

∴x= ,此時P[0, ],

情形3如圖4中,

AE= = =4 ,

EO′= =6 ,

設OP=x,在RT△PCE中,∵PE2=PC2+CE2,

∴(6 ﹣x)2=(x﹣8)2+22,

∴x= ,此時P[0, ],

情形4如圖5中,

設OP=x,在RT△PCE中,∵PE2=PC2+CE2

∴(6 ﹣x)2=(x+8)2+22,

∴x= ,此時P[0, ].


【解析】(1)先在RT△ABO′求出BO′,設PO=PO′=x,在RT△PCO′中利用勾股定理解決即可.(2)當∠CPE=∠APO時得∠CPE=∠APO=∠APO′=60°求出OP= OA即可.當∠CPE=∠OAP時,∠CEP=∠APO=∠APO′,此時AP∥EC,顯然不可能.(3)分四種情形討論,在RT△PCE中利用E2=PC2+CE2列出方程求解
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

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(1)直接寫出a,b, |AB|的值. a= ,b = , |AB|= ;

(2)設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)為x,當|PA|-|PB|=2時,求x的值;

(3)若點P在點A的左側(cè),M、N分別是PA、PB的中點.當點P在點A的左側(cè)移動時,式子|PN|-|PM|的值是否發(fā)生改變?若不變,請求出其值;若發(fā)生變化,請說明理由.

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如圖:

已知數(shù)軸上有A、B兩點,分別表示的數(shù)為﹣10,8,點A以每秒3個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運動,點B以每秒2個單位向左勻速運動.設運動時間為t秒(t>0).

(綜合運用).

(1)點A運動2秒后所在位置的點表示的數(shù)為   ;點B運動3秒后所在位置的點表示的數(shù)為   

(2)它們按上述方式運動,A、B兩點經(jīng)過多少秒會相遇,相遇點所表示的數(shù)是什么?

(3)它們按上述方式運動,A、B兩點經(jīng)過多少秒后相距2個單位長度?

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A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

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A. B. C. D.

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