Question

如圖1，△ABD和△BDC都是邊長為1的等邊三角形．

（1）四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？
（2）如圖2，將△BDC沿射線BD方向平移到△B₁D₁C₁的位置，則四邊形ABC₁D₁是平行四邊形嗎？為什么？
（3）在△BDC移動過程中，四邊形ABC₁D₁有可能是矩形嗎？如果是，請求出點B移動的距離（寫出過程）；如果不是，請說明理由（圖3供操作時使用）．

Answer 1

分析：（1）根據四條邊都相等的四邊形ABCD是菱形證明即可；
（2）四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；
（3）在△BDC移動過程中，四邊形ABC₁D₁有可能是矩形，此時此時，∠D₁BC₁=30°，∠D₁C₁B=90°，C₁D₁=1，利用在直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半即可求出點B移動的距離．

解答：解：（1）四邊形ABCD是菱形；
理由如下：
∵△ABD和△BDC都是邊長為1的等邊三角形．
∴AB=AD=CD=BC=DB，
∴AB=AD=CD=BC，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）四邊形ABC₁D₁是平行四邊形．
理由：∵∠ABD₁=∠C₁D₁B=60°
∴AB∥C₁D₁，
又∵AB=C₁D₁，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

（3）四邊形ABC₁D₁有可能是矩形．
此時，∠D₁BC₁=30°，∠D₁C₁B=90°，C₁D₁=1
∴BD₁=2，
又∵B₁D₁=1，
∴BB₁=1，
即點B移動的距離是1．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、菱形的判定和性質矩形的判定和性質以及直角三角形的性質，掌握特殊平行四邊形的判定定理是解此題的關鍵．