Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D、E、F分別是AC、AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE-EF-FC-CD以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）D、F兩點(diǎn)間的距離等于______；
（2）以點(diǎn)D為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作圓交DE于M，能否在弧CM上找一點(diǎn)N，使直線QN切⊙D于N，且四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值．若不能，說(shuō)明理由；
（3）作射線QK⊥AB，交折線BC-CA于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在射線QK上；
（4）連接PG，當(dāng)PG∥AB時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，
∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，EF∥AC，∴DF=AB=25

（2）能．
如圖1，連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，
∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，
∴QK過(guò)DF的中點(diǎn)O時(shí)，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分
（注：可利用全等三角形借助割補(bǔ)法或用中心對(duì)稱等方法說(shuō)明），
此時(shí)QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=．

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2≤t≤5）時(shí)，
如圖2，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得．
∴t=4；
②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7）時(shí)，
如圖3，已知QB=4t，從而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7；

（4）如圖4，t=1；如圖5，t=7．
（注：判斷PG∥AB可分為以下幾種情形：
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P下行，點(diǎn)G上行，可知其中存在PG∥AB的時(shí)刻，
如圖4；此后，點(diǎn)G繼續(xù)上行到點(diǎn)F時(shí)，t=4，而點(diǎn)P卻在下行到點(diǎn)E再沿EF上行，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)不存在PG∥AB；
當(dāng)5≤t≤7時(shí)，點(diǎn)P，G均在FC上，也不存在，
PG∥AB；由于點(diǎn)P比點(diǎn)G先到達(dá)點(diǎn)C并繼續(xù)沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的時(shí)刻，
如圖5，當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P，G均在CD上，不存在PG∥AB）．
分析：（1）由中位線定理即可求出DF的長(zhǎng)；
（2）連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求得t的值；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2≤t≤5時(shí)根據(jù)△PQE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出t的值；
②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7）時(shí)，PB+PF=BF就可以得到；
（4）當(dāng)PG∥AB時(shí)四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫(xiě)出t．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用了相似三角形性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等，正確找出題目中的相似三角形是解題的關(guān)鍵．